周期函数求法以及性质.doc

如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 , (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值都能使成立，同时考虑到正弦函数的周期是解： , 即 当自变量由增加到时，函数值重复出现，因此的周期是(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值都能使 成立，同时考虑到正切函数的周期是解： , 即 函数的周期是注意：1、根据周期函数的定义，周期是使函数值重复出现的自变量的增加值，如周期不是，而是； 2、是定义域内的恒等式，即对于自变量取定义域内的每个值时，上式都成立2、根据公式求周期对于函数或的周期公式是，对于函数或的周期公式是例3 求函数的周期解： 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数的周期 解： 例5 已知函数求周期 解： 4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 的周期解： 例7 求函数的周期解： 函数的最小正周期 5、若函数，且，都是周期函数，且最小正周期分别为，如果找到一个正常数, 使，(均为正整数且互质)，则就是的最小正周期 例8 求函数的周期解： 的最小正周期是， 的最小正周期是 函数的周期 ，把代入得 ，即， 因为为正整数且互质， 所以 函数的周期 例9 求函数的周期解： 的最小正周期是，的最小正周期是，由， ， (为正整数且互质), 得 所以 函数的周期是 函数的周期性-函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中突然出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的2.若T是周期，则kT（k0,kZ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C； 3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(xa),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(a+x)=f(ax)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（ab），则2（b-a）是f（x）的一个周期 5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（ab），则2（b-a）是f（x）的一个周期。(证一证)6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；5.数列 中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。四.经典例题做一做【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。） x(1,2), 则-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x(1,2).解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)如图：x(0,1), f(x)=x+1.是偶函数x(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2， x(1,2)时x-2（-1，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。解： 周期为8， 法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例3】若函数 在R上是奇函数，且在 上是增函数，且 .求 的周期；证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (kZ );讨论f(x)在(1,2)上的单调性；解: 由已知f(x)=f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, 点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.设1x1x22,则-2-x2-x1-1, 02-x22-x11.f(x)在(-1,0)上递增, f(2-x1)f(2-x2)(*)又f(x+2)=-f(x)=f(-x) f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(*)为f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1x1)是奇函数.又知y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.证明： ；求 的解析式；求 在 上的解析式.解： 是以 为周期的周期函数，且在-1,1上是奇函数， ， .当 时，由题意可设 ，由 得 ， ， . 是奇函数， ，又知 在 上是一次函数，可设 ，而 ， ，当 时， ，从而 时， ，故 时， .当 时，有 ， .当 时， ， .五提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习 27 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（ ）的值为A.0B. C.TD. 2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0， 时，f（x）=sinx，则f（ ）的值为A. B. C. D. 【填空题】3.设 是定义在 上，以2为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间2，3上， = ,则 = 4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周 5.对任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)= 6.设f(x)定义在R上的偶函数，且 ，又当x(0，3时，f(x)=2x，则f(2007)= 。 答案提示：1、A；由f（ ）=f（ +T）=f（ ）=f（ ），知f（ ）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx）2、D； f（ ）=f（ 2）=f（ ）=f（ ）=sin = .3、 ; 4、8；5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -66、 ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6【解答题】7.设函数f(x)的最小正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001x)对一切xR均成立，试讨论f(x)的奇偶性.解: 周期是2002, f(2002+x)=f(x),又由f(1001+x)=f(1001x)得f(2002-x)=f(x)对任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x2,3时f(x)=x，求x-2,0时f(x)的解析式。分析：由T=2可得x-2,-1和x0,1时的解析式；再由奇偶性可得-1，0上的解析式。解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x). 又由于f(x)为偶函数，故 所以解析式为 9.设f(x)是定义在（-，+）上的函数，对一切xR均有f(x)+f(x+2)=0，当-1x1时，f(x)=2x-1，求当1x3时，函数f(x)的解析式。思路分析： f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) 该式对一切xR成立， 以x-2代x得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)当1x3时，-1x-21， f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)=-2x+5， f(x)=-2x+5（1x3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。10.（2005广东）设函数 在 上满足 ， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0。（）试判断函数y=f(x)的奇偶性；（）试求方程f(x)=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解：由 得 即 由已知易得 ，所以 ，而 ，从而 且 故函数 是非奇非偶函数;(II)由 ,从而知函数 的周期为 当 时， ，由已知 ，又 ，则 当 时，只有 方程 =0在一个周期内只有两个解而函数 在闭区间-2005，2005共含有401个周期，所以方程 =0在闭区间-2005，2005共含有802个解【探索题】对于kZ，用Ik表示区间(2k-1，2k+1。已知xIk时，f(x) (x-2k)2，(1)当kN*时,求集合Mka使方程f(x)ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值 (2)并讨论f(x)的周期性。解：yf(x)图像就是将yx2(x（-1，1）向右平移2k个单位所得，其中kN设y1f(x),y2ax，由集合Mk可知，若aM，则函数y1f(x)与y2ax图像有 两个交点，即当x2k+1时，0y210a Mka0a ，kN，即Mk(0， 对任意 ，所以f(x)是2为周期的周期函数。思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力函数f(x)(x)最小正周期的求法若f(x)和(x)是三角函数，求f(x)(x)的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：一、定义法例1求函数ysinxcosx的最小正周期.解:sinxcosxsinxcosxcos(x)sin(x)sin(x)cos(x)对定义域内的每一个x，当x增加到x时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是.二、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T，正余切函数T例2求函数ycotxtanx的最小正周期.解：y2T三、最小公倍数法设f(x)与(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1T2，则f(x)(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数例3求函数ysin3xcos5x的最小正周期.解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则，所以ysin3xcos5x的最小正周期T212.例4求ysin3xtan的最小正周期.解：sin3x与tan的最小正周期是与，其最小公倍数是10.ysin3xtan的最小正周期是10.四、图象法例5求ysinx的最小正周期.解：由ysinx的图象：可知ysinx的周期T. 通俗定义 周期函数对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 严格定义设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质； （1）对 有（XT） ； （2）对 有f（X+T）=f（X） 则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。 由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 编辑本段周期函数性质（1）若T（0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。 （2）若T（0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。 （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1T2也是f(X)的周期。 （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集） （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。 （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 编辑本段周期函数的判定定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K0）和1/ f(X)分别是集M和集X/ f(X) 0，X 上的以T*为最小正周期的周期函数。 1 证： T*是f(X)的周期，对 有XT* 且f(X+T*)= f(X)，K f(X)+C=K f(X+T*)+C， K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T（ 0TT*）是K f(X)+C的周期，则对 ， 有K f(X+T)+C=K f(X) +C Kf(X+T)- f(X)=0，K0，f(X+T)- f(X)=0，f(X+T)= f(X)， T是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，T*也是K f(X)+C的最小正周期。 同理可证1/ f(X)是集X/ f(X) 0，X 上的以T*为最小正周期的周期函数。 定理2若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集X/aX+ n 上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。 证： 先证 是f(ax+b)的周期 T*是f(X)的周期， ，有XT*M，a（X ）+b=ax+b T*M，且fa（X+ T ）+b=f（ax+bT*）=f（ax+b） 是f（ax+b）的周期。 再证 是f（ax+b）的最小正周期 假设存在T（0T ）是f（ax+b）的周期， 则f（a（x+T）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT）=f（ax+b）， 因当X取遍X/XM,ax+bM的各数时,ax+b就取遍M所有的各数， aT是f(X)的周期，但 =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。 定理3设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当XM1时，g(x)M，则复合函数f(g(x)是M1上的周期函数。 证： 设T是u=g(x)的周期，则 1有（xT）M1且g（x+T）=g(x) f(g(x+T)=f(g(x) =f(g(x)是M1上的周期函数。 例1 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x)=cos2x是R上的周期函数。 同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx0)也都是周期函数。 例2 f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函数，f(g(x)=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。 例3 f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x)=cos 是非周期函数。 证：假设cos 是周期函数，则存在T0使cos （kZ） 与定义中T是与X无关的常数矛盾， cos 不是周期函数。 由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x)可能是，也可能不是周期函数。 定理4设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。 证： 设 （(pq)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（xT）=（xT1q）=（xT2p）M，且f1(x+T) f2（x+T）= f1(x+T1q) f2（x+T2p）= f1(X)f2(X) f1(X) f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。 定理4推论 设f1(X) 、f2(X)fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2Tn分别是它们的周期，若， （或T1，T2Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。 例4 f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2、/2的最小公倍 数2为周期的周期函数。 例5 讨论f(X)= 的周期性 解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。 5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。 tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。 又 都是有理数 f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。 同理可证： （1）f(X)=cos ; (2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。 定理5设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2Q。 证 先证充分性： 若a1/a2Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 Q 由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。 再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。 （1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T0， 使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2