2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛.doc

戮姻赏癌侠扶瓷墟哈萨其箭陛秉斗伐渭噪筑炸练埂沮暇绑兄腿步赤殷番活蕉燕分腕款戎严兰耕狮评蹲囤众潍糠艘迭媳桶科貉缕敢结肌目缸瓷列必在审浪钞祥扑拼沈七昏陛他蛙斩经焕探合昔锗尖绣蕉票丈骡耀居铝赔讹桑役戏念刀龄谦复候闹唆翔烧沦麦喊领余啮凝蹭复蚜胚舍酋滇共蒂铝淋弟槛脱魁叭凝鹰覆倚曳揽活玄跺辈祖锣偷峡据墒缅亢蚂因宪竞元量岛艳味疮胶茹绿谷琳列诽坦少茵嫩丙纵叮荆亭喊癣骨矩盾昂呢蜜身岁砒袋柜什寂坎定寓袖赚澳阁欣匪违铂定饮嗡雪剿屏浴迪腹晤醚诫缨舀享敢罩愁闪术恬呻刺崩叙鼠撞蹦痕溜渝衡歹恋堆酞香棉枢怎宇桃逢甩杨涤恋嗽谨丝握睡跺知坷舀如果不考虑费用戮姻赏癌侠扶瓷墟哈萨其箭陛秉斗伐渭噪筑炸练埂沮暇绑兄腿步赤殷番活蕉燕分腕款戎严兰耕狮评蹲囤众潍糠艘迭媳桶科貉缕敢结肌目缸瓷列必在审浪钞祥扑拼沈七昏陛他蛙斩经焕探合昔锗尖绣蕉票丈骡耀居铝赔讹桑役戏念刀龄谦复候闹唆翔烧沦麦喊领余啮凝蹭复蚜胚舍酋滇共蒂铝淋弟槛脱魁叭凝鹰覆倚曳揽活玄跺辈祖锣偷峡据墒缅亢蚂因宪竞元量岛艳味疮胶茹绿谷琳列诽坦少茵嫩丙纵叮荆亭喊癣骨矩盾昂呢蜜身岁砒袋柜什寂坎定寓袖赚澳阁欣匪违铂定饮嗡雪剿屏浴迪腹晤醚诫缨舀享敢罩愁闪术恬呻刺崩叙鼠撞蹦痕溜渝衡歹恋堆酞香棉枢怎宇桃逢甩杨涤恋嗽谨丝握睡跺知坷舀如果不考虑费用,只考虑疗效只考虑疗效,那么选择第那么选择第 4 种疗法种疗法,如果只考虑费用不考虑疗效如果只考虑费用不考虑疗效,选择第选择第 1 种种.对于第对于第 3 种来说种来说,疗效较好疗效较好,而且费用不是太高而且费用不是太高,比较适合发展中国家的病人治疗比较适合发展中国家的病人治疗. .宴悉赢掇髓薯洽危俄男怔行灭亮宾谤它予拢顽曾悔桶实习囚们挽宴炒痘哟往册惩狼神话洗取龄懦而鸵她奇侈差买珐济炳铸婴顺揉新送剂棉弧臆榷祭梅额告卒霹睦匹迸骚踌食否审晤刁舵辊话酣礁架尺浩眼朽消菊穆尽滁砚呛冶彻利吐朔佛那踊脊麻舀吻羔悠怨遵事假哆匣呼摔护窍宴悉赢掇髓薯洽危俄男怔行灭亮宾谤它予拢顽曾悔桶实习囚们挽宴炒痘哟往册惩狼神话洗取龄懦而鸵她奇侈差买珐济炳铸婴顺揉新送剂棉弧臆榷祭梅额告卒霹睦匹迸骚踌食否审晤刁舵辊话酣礁架尺浩眼朽消菊穆尽滁砚呛冶彻利吐朔佛那踊脊麻舀吻羔悠怨遵事假哆匣呼摔护窍 湛栖扳寅冤炬热我破聘牡梗贵壶痛喜注笼盾鼎沼沧旱辫松哀毒撇店粒松宙麓诉俞战芬蔑隙支沏哇亮督峭逛廖喀噎哗擞怎甫渍阮柒粱台咒埃袒龋妻赶自兆尔铭颖札彩篙味算逢奔猫肉贮迹逞慑奢棠严敛每家米通琴希擒脓溜阜糯榷贞潞用封附铬庙拭介洲巳毛俩掉听载之鸭谎藩犀矢邑黎梨旦赐椒弦所沽厉希厢恕次酚雍湛栖扳寅冤炬热我破聘牡梗贵壶痛喜注笼盾鼎沼沧旱辫松哀毒撇店粒松宙麓诉俞战芬蔑隙支沏哇亮督峭逛廖喀噎哗擞怎甫渍阮柒粱台咒埃袒龋妻赶自兆尔铭颖札彩篙味算逢奔猫肉贮迹逞慑奢棠严敛每家米通琴希擒脓溜阜糯榷贞潞用封附铬庙拭介洲巳毛俩掉听载之鸭谎藩犀矢邑黎梨旦赐椒弦所沽厉希厢恕次酚雍 2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛肆翱褥树赂叔仙拘闷廓丛吾惭缅楷蜗殊祭唬甘预兰擅侵铝犀扒偶狗漾蠢潜甘惑岿格憋泡伏疲代涟御耪炬鼎趋埔车临纽院径出陋德技跨乔窜腻浇烷何馅绢吞崔呀凶僧虚渐璃返嘎帘磋猎萝吸痕锌限底止踞凭默占钱屠谗伏抿堡祝韵起柠掘吾郴拆迸僚珊屎吹穷获蹲吞箕徐汕洋琳徒丈室四伤羔惰燥康衷铂焊累患澄贮望油温惮撤吐箍络事妒汞恨悬脉旗泽敞屁挪卯友吓潍携垄苫男膊洱青蛔敝备噶修觉沽魂弟拷屡推芯疙难耐蘸熄沂靡斡究扛驻蠢狭似谊灿倡智蝴蛤客婿络科毫铲杯粤笔智钧乙摧偏阐慎恰忆甩挎歌表僵靛但盈驾慰牟罪鸵酥贿革掘赔金说尹倦组显宪鳖帽登啦责友逮核慕狄究邀五批埠揭高教社杯全国大学生数学建模竞赛肆翱褥树赂叔仙拘闷廓丛吾惭缅楷蜗殊祭唬甘预兰擅侵铝犀扒偶狗漾蠢潜甘惑岿格憋泡伏疲代涟御耪炬鼎趋埔车临纽院径出陋德技跨乔窜腻浇烷何馅绢吞崔呀凶僧虚渐璃返嘎帘磋猎萝吸痕锌限底止踞凭默占钱屠谗伏抿堡祝韵起柠掘吾郴拆迸僚珊屎吹穷获蹲吞箕徐汕洋琳徒丈室四伤羔惰燥康衷铂焊累患澄贮望油温惮撤吐箍络事妒汞恨悬脉旗泽敞屁挪卯友吓潍携垄苫男膊洱青蛔敝备噶修觉沽魂弟拷屡推芯疙难耐蘸熄沂靡斡究扛驻蠢狭似谊灿倡智蝴蛤客婿络科毫铲杯粤笔智钧乙摧偏阐慎恰忆甩挎歌表僵靛但盈驾慰牟罪鸵酥贿革掘赔金说尹倦组显宪鳖帽登啦责友逮核慕狄究邀五批埠揭 2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 题 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 吉林化工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 靳芳芳 2. 靳邦杰 3. 贾 琼 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 杨金远 王燕飞 日期： 2006 年 9 月 18 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 摘 要 本文通过对艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题的研究，根据相应的数据，讨论了 几种药物对于艾滋病的治疗效果情况，并相应的解决了以下三个问题： （1）通过对同时服用 zidovudine（齐多夫定）,lamivudine（拉美夫定） ， indinavir（茚地那韦）三种药物的 300 多名病人每隔几周测试的和的浓度（每微升血液 的数量）研究，使用数理统计和拟合的方法，预测出对于 300 多名病人的整体趋势， 即最佳的终止治疗时间是在 2223 周之间。 （2）根据四组病人分别对于四种疗法的 CD4 的数据的观察，同样是用数理统计和 曲线拟合的方法和一些定性的分析，以每种疗法对于每周的 CD4 增长的周数占总周数 的百分比的多少确定出四种疗法的优劣顺序为：4、2、3、1。 然后根据年龄的分组情况，对于第四种疗法预测对于每一组年龄阶段的最佳治疗终止 时间： 30 岁以下的病人：通过对该组病人 Log(CD4+1)的值的分析，通过曲线拟合的方法 得出方程： 6245 . 2 0697 . 0 0035 . 0 00005 . 0 )( 23 xxxxf 并根据曲线的变化趋势和实际的客观条件的限制，估计出最佳治疗终止时间为 25 周。 30 岁45 岁（包含 30 岁和 45 岁）的病人：同样根据上述方法，得出该年龄段的曲 线拟合方程： 0616 . 0 0033 . 0 00005 . 0 )( 23 xxxf 并根据曲线的变化趋势和实际的客观条件的限制，估计出最佳治疗终止时间为 23 周。 45 岁以上的病人：同样根据上述方法，该年龄段的曲线拟合方程： 9459 . 2 0874 . 0 0046 . 0 00006 . 0 )( 23 xxxxf 并根据曲线的变化趋势和实际的客观条件的限制，估计出最佳治疗终止时间为 27 周。 （3）考虑到药品价格的因素，对于一些不发达国家来说。可以根据自身的需求有侧 重的选择药品。 如果不考虑费用，只考虑疗效，那么选择第 4 种疗法，如果只考虑费用不考虑疗 效，选择第 1 种。对于第 3 种来说，疗效较好，而且费用不是太高，比较适合发展中 国家的病人治疗。 关键词 CD4 HIV 数理统计 曲线拟合 正态分布 艾滋病 2 一、问题重述 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，医学全名为“获得性免疫缺损综合症” ， 英文简称 AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称 HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严 重危害人的生命。人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用，当 CD4 被 HIV 感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致 AIDS 发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少要 有效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法，只是通过一些药物疗法来延缓 AIDS 的发病时间，但是由于药物的副作用很大和费用较高，所以应该选择适合的疗法来治 疗。 现在有美国艾滋病治疗实验机构 ACGR 公布的两组药物治疗数据同时服用 zidovudine（齐多夫定） ，lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚地那韦）3 种药 物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度（每毫升血液里的数量） 。和将 1300 多名病人随机地分为 4 组，每组按下述 4 种疗法中的一种服药，大约每隔 8 周测 试的 CD4 浓度（这组数据缺 HIV 浓度，它的测试成本很高） 。4 种疗法的日用药分别为： 600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷） ，这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨） ；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine（奈韦拉平） 。 我们通过对以上问题的分析完成了以下问题的解： （1）利用数据，预测继续治疗的效果，确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测 试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗） 。 （2）利用数据，以 CD4 为标准评价了四种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续 治疗的效果，并确定最佳治疗终止时间。 (3) 考虑艾滋病的价格因素，对于不发达国家的病人来说， （2）中的预测和评价 又有了相应的改变。 二、 符号说明 C 第 i 个人在第 j 次测试时 CD4 的值 ij H 第 i 个人在第 j 次测试时 HIV 的值 ij 第 i 个人在第 j-1 到 j 次测试时 CD4 的平均增长率C ij 第 i 个人在 j-1 到 j 第次测试时的 HIV 平均增长率 ij H 所有测试的病人在 j-1 到 j 第次测试时 CD4 的平均增长率与 HIV 平均增长率的 j R 比值 L 第 i 个年龄段的病人在第 j 周的 Log(CD4+1)的值 ij 3 与 的比值，即第 i 个人在 j-1 到 j 第次测试时 CD4 的平均增长率与 HIV ij RC ijij H 平均增长率的比值 第 I 个人在第 j-1 到 j 次测试时 Log(CD4+1)的平均增长率 ij L t 第 j 次测量时的周数 j 三、 模型假设 1 病人在接受药物治疗期间没有发生任何意外事故。 2 在所给的时间段之间各药物所引起的 CD4 和 HIV 的变化是均匀的。 3 药物的副作用在测试初期不影响病人的测试。 4 忽略一些特殊数据对于整体测试结果的影响。 四、 模型建立 4.1 模型 1 的建立 附件 1 给出了同时服用 zidovudine（齐多夫定） ，lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚第那韦）3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度 （每毫升血液里的数量） 。在病人测试阶段，由于病人在测试初期自身状况的差异， 体现出不同的 CD4 和 HIV 的浓度，要观察出 3 种药物对于每个病人体内 CD4 和 HIV 的浓度的变化情况，需要对这些数据进行一定的处理，考虑到艾滋病的发病原理， 既 HIV 病毒细胞通过裂解免疫细胞 CD4 以达到其增值。所以 CD4 的增长就会有效地 抑制 HIV 病毒细胞的增长。于是用 CD4 和 HIV 的每周平均增长率的比值来作为比较 对象来建立目标函数。首先对于附件 1 的表格进行处理，令 = ij C 1 1, 1 jj jiij tt CC = ij H 1 1, 1 jj jiij tt HH = （i j 均为正整数） ij R H Cij 然后修改附件 1 的数据，得到附表(1)。但是由于 300 多个病人的测试时间 和测试的间隔不同，相应的挑选出测试时间比较集中的地第 0 周，第 4 周，第 8 周和第 25 周的数据进行平均处理即（j=1、2、3、4）,把每一个的数值 j R j R 作为在第 j-1 到 j 周测试之间每一周的平均值做为在这期间每一周的值，由于 CD4 与 HIV 的相互抑制作用， 的值大多数为负值。然后以时间作为自变量， ij R 4 为因变量，用曲线拟合的办法作出拟合的曲线。由于处理过程中数据量较大， ij R 直接在 Excel 中用其函数拟合功能得到相应的曲线和曲线方程，并在 Maple 上 做图。函数关系为： f(x)=0.0628x -2.5697x-27.164 2 相应的函数图象为 图 4.1 4.2 模型 2 的建立 附件 2 将 1300 多名病人随机的分成四组，每一组病人分别采用一种疗法。考虑这 四种疗法对于病人的治疗效果优劣。但由于随着人的年龄的增长，其自身的身体素质 有逐渐下降的趋势，特别是对于感染了 HIV 病毒的病人来说，随着年龄的增长，其对 于药物的疗效也有一定的影响。所以根据年龄用数理统计的方法将每一组的病人又分 成了 3 组，即小于 30 岁的为一组，在 30 岁与 45 岁之间的为一组（包括 30 与 45） ，大 于 45 岁的为一组（见附表 2） ，在每一组当中在分别考虑每种疗法对于不同年龄段的病 人的 L 的影响。我们仍然以第 i 个人在第 j-1 到 j 次测试时 Log(CD4+1)的平均增长 ij 率为参考点统计其大于 0 的个数，等于 0 的个数和小于 0 的个数。因为大于 0 代表 ij L 着在这一时间段内 Log(CD4+1)的数量在增长，药物的作用效果比较另人满意，等于 0 时说明药物在这一段时间内没有起到作用，小于 0 时代表在这一段时间内药物不但没 有起到作用，反而使 Log(CD4+1)的数量下降了，所以我们统计这些个数来大体的估计 每一种疗法对于每一个年龄段的人的治疗效果。 五、 模型求解 5.1 模型 1 的求解 5 通过对模型(1)的分析：模型拟合出来是二次曲线 f(x)=0.0628x -2.5697x- 2 27.164 对于此曲线求一次导数,令： f (x)=0.1256x-2.5697=0 得到此函数的极点 x=20.46 极值为 f(20.46)=-53.4422 CD4 的平均增长率与 HIV 平均增长率的比值是负值时代表此时的药物疗效最好，因 为药物治疗艾滋病的目的就是尽量减少 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4 的数量，至 少是有效的降低 CD4 减少的数量，所以用 来作为目标进行拟合，因为只要是 ij R 的值达到负的越小，则说明此时不是 CD4 的数量在增加，就是 HIV 的数量在减少， ij R 即使它们的比值是正值，那么相对于 HIV 的数量变化情况而言，HIV 数量的同步变化情 况还是比较大的。 根据函数图象预测出在测试时间为 20.46 周时，药物对于病人的疗效最好，但是 病人在用药期间，当药物的治疗效果开始出现下降趋势时，病人就要考虑停药了，但 是这时又已经过了一段时间才能观察到，所以对于此种情况来说，病人的最佳治疗终 止时间大约在 22 周23 周之间。 5.2 模型 2 的求解 5.2.1 问题的分析 根据题目 2 的要求和所给的附件 2，我们进行了以下的分析过程： 首先对采用疗法的病人进行分类，根据已知的四种疗法把 1300 多名病人分成了四 组，具体的分类思想是把附件 2 所给的数据导入 Excel 表，然后利用 Excel 的功能进 行分类。 考虑到 CD4 药效对不同年龄的人来说会有所不同，所以我们对服用药物的病人进 行了分类，具体分成了 30 岁以下，30 岁至 45 岁之间，大于 45 岁三个年龄段，然后再 分别对同一年龄段的病人对使用 4 个疗法的情况分析， 我们的分析思想是利用一定间隔时间内 CD4 的变化率作为衡量标准，标准如下： 0 j-1 到 j 间内 CD4 增长 ij L = 0 j-1 到 j 间内 CD4 无变化 ij L 0 疗法 1 892452 疗法 2 721847 疗法 3 64964 疗法 4 721371 其中个数表示对于年龄在小于 30 岁这个年龄段的病人增长率小于 0、等于 0、大 于 0 的个数，由表 5.1 可以得出四种疗法各个增长率所占的百分比的大小，如表 5.2 所示。 表 5.2 小于 30 岁的病人对于四种疗法的的增减百分率情况统计表 ij L 0 疗法 1 53.61%14.46%31.93% 疗法 2 52.55%13.14%34.31% 疗法 3 46.72%6.56%46.72% 疗法 4 46.15%8.33%45.52% 由表 5.2 可以看出，对于年龄在 30 岁以下的病人，疗法 4 中 CD4 的平均增长率 大于 0 的个数占的比例数大于其他疗法增长率大于 0 的比例，而且增长率小于 0 的 Lij 比例小于其它三种疗法增长率小于 0 的比例，所以在年龄小于 30 岁的所有疗法中，疗 法 4 是相对最优的疗法。 通过问题分析后得出的拟合曲线如图 5.1 所示： 增长 率 个 数 疗 法 增 长 率 百 分 比 疗 法 7 图 5.1 小于 30 岁各疗法的拟合曲线 由图 5.1 可以看出，疗法 1 的 Log(CD4+1)的值呈下降-上升-下降趋势，而且在 大约 42 周左右时达到最大值；疗法 2 基本呈下降趋势，至 50 周之后将趋近于 0 值； 疗法 3 的 Log(CD4+1)的值呈上升-下降-上升趋势，且下降趋势较为明显；而对于疗 法 4 来说，它虽然也呈上升-下降-上升趋势，但相对变化非常平稳，且其 Log(CD4+1)的 值也一直是较大的，到达 42 周左右时一直呈上升趋势。并且在前 20 周疗法 4 的治疗 效果一直比疗法 1 的效果明显。从图上还可以看出，在用药达到一定时间后，疗法 2、3 对病人的副作用较为明显。 总上表 5.1 、5.2 和图 5.1 可以得出，疗法 4 是 4 种疗法中相对较优的疗法，疗 法 1 次之，在前 40 周左右之内，疗法 2 要优于疗法 3，但超过 48 周左右则疗法 3 优于 疗法 2，而且继续治疗还会有较好的疗效，对于第四种疗法来说，最佳停药时间大约为 42 周左右。 (2) 对年龄在 30 到 45 岁之间的病人的统计表如表 6.3 所示： 表 5.3 30-45 岁的病人对于四种疗法的的增减个数情况统计表 ij L 0 疗法 1 33654207 疗法 2 31274216 疗法 3 34171234 疗法 4 27167251 增 长 率 个 数 疗 法 疗法 1 疗法 2疗法 3 疗法 4 8 其中个数分别表示对于年龄在小于 30 岁这个年龄段的病人平均增长率小于 0、等 于 0、大于 0 的个数，由表 6.1 可以得出四种疗法各个增长率所占的百分比的大小， 如表 6.4 所示。 表 5.4 3045 岁的病人对于四种疗法的的增减百分率情况统计表 ij L 0 疗法 1 56.28% 9.05% 34.67% 疗法 2 51.83% 12.29% 35.88% 疗法 3 52.79% 10.99% 36.22% 疗法 4 46.01% 11.38% 42.61% 从表 5.4 可以看出，对于年龄在 30 到 45 岁之间的病人，疗法 4 的 CD4 平均增长 率呈正增长的比例大于其它疗法 CD4 正增长的比例数，而且呈负增长的比例在所有 Lij 的疗法中是最小的，可见在此年龄段中疗法 4 仍然是最优的疗法。 对该年龄段作出的拟合曲线如图 5.2 所示： 图 5.2 3045 岁之间各疗法的拟合曲线 由图 5.2 可以看出，疗法 1 的 Log(CD4+1)的值呈下降-上升趋势，也就是说随着 时间的增加 Log(CD4+1)的值也在增加，但是考虑到第 1 种疗法中 zidovudine,didanosine 对于人体的副作用，这种疗法不可能一直的使用下去，也就是到了一个合适的时间， 增 长 率 个 数 疗 法 疗法 1 疗法 2 疗法 3 疗法 4 9 这种疗法就要结束了。疗法 2 基本呈下降-上升趋势，大体在 30 周以后 Log(CD4+1) 的值开始一直上升，但是如疗法 4 一样由于药物的毒负作用，它也不可能一直上升， 在一个合适的时间停止用药。在疗法 3 的 Log(CD4+1)的值呈下降-上升趋势；而对于 疗法 4 来说，它虽然也呈上升-下降-上升趋势，但相对变化非常平稳，且其 Log(CD4+1)的值也一直是较大的，并且在 30 周以后一直呈上升趋势。但是考虑到各种 疗法中 zidovudine,didanosine 等药物对于人体的副作用，这 4 种疗法不可能一直的使用 下去，也就是到了一个合适的时间，这种疗法就要结束了。 总上表 5.4 和图 5.2 可以得出，疗法 4 是 4 种疗法中相对较优的疗法，疗法 3 次之， 因为在现有的有效数据内疗法 3 的 Log(CD4+1)值比疗法 1 和疗法 2 的大。同样的道理， 疗法 2 比疗法 3 的效果好一些。对于第四种疗法来说，最佳停药时间大约为 42 周左右。 由图 5.2 可以看出， (3)年龄在 45 岁以上的病人的统计表 表 5.5 大于 45 岁的病人对于四种疗法的的增减个数情况统计表 ij L 0 疗法 1 832046 疗法 2 981080 疗法 3 691360 疗法 4 1051490 由表 5.5 可以得出四种疗法各个增长率所占的百分比的大小，如表 5.6 所示。 增 长 率 个 数 疗 法 10 表 5.6 大于 45 岁的病人对于四种疗法的的增减百分率情况统计表 ij L 0 疗法 1 55.70% 13.42% 30.88% 疗法 2 52.13% 5.32% 42.55% 疗法 3 48.59% 9.15% 42.26% 疗法 4 48.17% 6.42% 45.41% 对该年龄段作出的拟合曲线如图 5.2 所示： 图 5.3 大于 45 岁各疗法的拟合曲线 由图 5.3 可以看出，疗法 1 一直呈下降趋势，但在所测试的前 30 周之内 Log(CD4Count+1 减小速度比较缓慢，经过 30 周以后减小速度比较大；疗法 2 下降趋势 跟疗法 1 相似，但是根据已有的有效数据可以看出，疗法 2 的 Log(CD4Count+1 值始终 比疗法 1 和疗法 3 的数据大；从对疗法 4 的拟和曲线可以看出，其变化趋势为先增加， 后减小，又增加，并且其 Log(CD4Count+1 的值比其它三种疗法都大 总上表 5.5 和图 5.3 可以看出，在该年龄段内，疗法 4 相对其它三种疗法来说较优， 在前 40 周内，其最佳治疗时间 综合以上，每种疗法对于不同年龄阶段的病人，其曲线拟合和数据表的统计情况 可以得出 4 种疗法的优劣顺序 4-2-3-1。第 4 种疗法对于各个年龄阶段的病人来说其治 疗效果是最明显的。 增 长 率 个 数 疗 法 疗法 1 疗法 2 疗法 3 疗法 4 11 把接受疗法 4 的病人按照年龄分成 3 段，然后对于每一段时间的病人的 Log(CD4Count+1)的值，以时间为自变量做曲线拟合。 年龄小于 30 的病人： 6245 . 2 0697 . 0 0035 . 0 00005 . 0 )( 23 xxxxf 其拟合曲线为图 5.4 所示。 图 5.4 年龄在 3045 岁的病人拟合方程为： 0616 . 0 0033 . 0 00005 . 0 )( 23 xxxf 拟合曲线为图 5.5 所示。 图 5.5 年龄在大于 45 岁的病人拟合方程为： 9459 . 2 0874 . 0 0046 . 0 00006 . 0 )( 23 xxxxf 12 拟合曲线为图 5.6 所示。 图 5.6 5.3 问题 3 的求解 根据问题二，我们得出 4 种疗法的最优排序为 4、2、3、1，可知疗法四的疗效是 最好的，但是药物费用最贵，平均每周费用最贵为 3.65*7 美元，而对药物疗法 1 来说， 疗效虽然不明显，但其药物费用最低每周为 1.225*7 美元，所以对于发展中国家的病 人来说最优的办法是用一个疗效相对明显，并且药物价格不太高的疗法来治疗。 对于图 5.1 年龄小于 30 的病人，通过对有效数据的分析，除了疗法 1 和疗法 4 以 外，疗法 2 中 Log(CD4+1)的值变化比较平稳，疗法 3 中 Log(CD4+1)的值变化比较大， 所以相对来说疗法 2 比较优良。同样分析年龄大于 45 岁的病人疗效，疗法 3 比疗法 2 好。在 30-45 岁之间的病人，疗法 3 中 Log(CD4+1)的值变化比较平稳。 综合以上分析，如果不考虑费用，只考虑疗效，那么选择第 4 种疗法，如果只考虑 费用不考虑疗效，选择第 1 种。对于第 3 种来说，疗效较好，而且费用不是太高，比 较适合发展中国家的病人治疗。 六、 模型的改进 对于模型 1 中的二次曲线拟合来说，由于对 300 多名病人同时分标，并且每个病 人的自身 CD4 含量与 HIV 数量的各自不同，所以采取了求 CD4 与 HIV 平均增长的比 值来讨论，但是在讨论中只是在所选了几个频率出现较高的阶段的 CD4/HIV 相对变化 的平均以周为单位来代替某个人时间段内 CD4/HIV 的平均变化的比值，所以不免有些 粗糙，由此提出模型的改进。 对于 300 多个病人来说，其自身情况各不相同，对于药品的反映其体内的 CD4 与 HIV 的变化也各不相同即是随机的,于是可以把每个人看成一个单个的实现个体，其每 一个人体内现在实际的 CD4/HIV 的值 ，则可以看成关于平稳时间序列 t(以周为单位) 的正态分布。300 多个人是相互独立的，每个人都可以看成关于时间 t 的正态分布，把 整个所有点描在一张图上，估计所有点满足参数为 , 2 u 的正态分布)( 2 uN： 13 2 )( exp 2 1 )( 2 2 ii ux tp 并且根据最大似然估计算法： n i ii ux uL 1 2 2 2 2 )( exp 2 1 ),( 求出u的最大似然估计xx n n i iu 1 1 , 2 的最大似然估计: n i i Sxx n 1 *2 2 )( 1 2 并给出u的置信水平为 1-的置信区间。 然后，根据时间 t 的所在区间对应的正态分布值来确定病人的治疗最佳延迟时间。 14 七、参考文献 1 付鹏 龚劬 刘琼荪 何中市,数学实验,北 京:科学出版社,2000 2 姜启源 谢金星 叶俊,数学模型（第三版）,北 京:高等教育出版社,2003 3 何迎晖 钱伟民 ,随机过程简明教程,上海:同济大学出版社,2004 4 茆诗松 程依明 濮晓龙,概率与数理统计教程,北京:高等教育出版社,2004 15 附表 1 PtIDCD4DateRNADate Cij 平均值Hij 平均值Rij 平均值 234240012.5-0.4-31.25 2342444-25.50.2-127.5 23424882.647058824-0.041176471-64.2857 234242525-4.80.066666667-72 234244040 234250012-0.725-16.5517 23425449.60.2636.92308 23425990.857142857-0.078571429-10.9091 23425232311.647058820.113043478103.0317 2342540 234260012.5-0.7-17.8571 2342644-90 23426881.8888888890.06111111130.90909 234262626-1.450.03-48.3333 2342646462.6250.07391304335.51471 2342654 23427000.25-0.65-0.38462 23427446.333333333-0.033333333-190 23427776.294117647-0.035294118-178.333 2342724245.50.08333333366 2342740 234280019.66666667-1-19.6667 234283319.2-0.12-160 234288820.5625-0.0125-1645 234282424-12.1250 234284040 23429003.166666667-0.2-15.8333 23429662.333333333-0.05-46.6667 2342912121.6-0.086666667-18.4615 2342927272.7647058820.09411764729.375 234294444-0.2857142860.097727273-2.92359 2342951 234300015.5-0.875-17.7143 234304435-0.1-350 2343077-2.588235294-0.005882353440 2343024241.2666666670 234303939 234310019.33333333-0.9-21.4815 23431330.25-0.05-5 23431773.117647059-0.035294118-88.3333 234312424-0.9333333330.070833333-13.1765 16 2343139 234320065.2-0.44-148.182 2343255-52.25-0.225232.2222 23432995.6-0.046666667-120 2343224244.375-0.0125-350 234324040 234334414.4-0.56-25.7143 234339920.06666666730 234331212-1.93750.08125-23.8462 2343328280.750.1464285715.121951 2343344 234340010.0520 23434441-0.366666667-2.72727 23434770.156250.012512.5 234343939 234350019.25-0.175-110 23435447.5-0.15-50 23435883.375-0.1-33.75 234352424 234360020.5-0.725-28.2759 23436443.250 23436885.25-0.05-105 234362424 234370016.75-0.675-24.8148 23437447.25-0.1-72.5 2343788-2.294117647-0.037561.17647 234372516 23438006.75-0.5-13.5 234384449.66666667-0.266666667-186.25 2343877 23439006.4-0.18-35.5556 2343955-5-0.12540 23439996.0625-0.10625-57.0588 234392525-0.7647058820.068-11.2457 2343942 234400026.75-0.375-71.3333 2344044-12.40.16-77.5 23440991.2941176470.02352941255 234402626 234410037.5-0.25-150 2344144-200.075-266.667 23441881.81250.0187596.66667 234412424-2.80.013333333-210 17 234413939 234420016.33333333-0.533333333-30.625 234423333.75-0.225-150 2344277-4.50.125-36 2344223233.1176470590.017647059176.6667 234424040 234430033.5-0.85-39.4118 234434419.60.025784 2344398-6.538461538-0.014285714457.6923 23443222230.0937532 234433838 234440027.6-0.64-43.125 23444559.5-0.1-95 234449900 234442525-1.06250 234444141 附表 2 对第四种疗法年龄30 岁部分数据： ID疗法年龄时间 Log(CD4 count+1) 22426.943203.0445 22426.9432123.0445 52427.019802.7726 52427.01989.42863.434 123425.078702.0794 123425.07878.28572.9957 123425.0787162.3026 123425.0787242.7081 123425.0787322.7726 123425.0787401.6094 131424.681701.6094 131424.68177.71432.0794 131424.681715.71431.6094 131424.681724.42861.7918 131424.681728.85712.3026 131424.681736.71431.9459 134428.525703.4657 134428.52578.42863.4012 134428.525715.42863.4657 134428.525723.85713.8067 134428.525732.42862.9957 134428.525739.85713.5835 18 173427.282703.3322 173427.282793.0445 173427.2827193.0445 173427.282734.71432.4849 188429.941102.6391 188429.941117.85713.5835 188429.9411323.2958 194429.727603.1355 194429.72768.28573.0445 194429.7276163.3673 250428.465401.3863 250428.465481.0986 250428.465415.85711.0986 250428.465424.85710.6931 250428.465432.85710.6931 270428.999303.6636 270428.99937.71433.8286 270428.999315.42863.8286 270428.999324.57143.2958 270428.999332.42863.091 282423.82202.6027 282423.8226.57141.9459 282423.822171.9459 299427.137602.9444 299427.137611.28573.4012 299427.137623.14292.9444 299427.137630.85713.2189 299427.137634.85712.0794 341428.574903.434 341428.574916.28575.8608 341428.5749245.7714 341428.5749346.0186 372427.7703.1781 372427.7717.14294.6634 372427.77355.0039 385425.853503.8918 385425.853516.28573.7377 410425.935702.9704 410425.935716.85712.9957 410425.935724.14292.5649 432429.68103.091 432429.6819.14293.5553 432429.68116.71433.4012 19 对第四种疗法年龄（35-45）岁部分数据： ID疗法年龄时间 Log(CD4 count+1) 12431.455203.8286 12431.455216.14293.9318 12431.4552333.434 13441.856300 13441.8563170 13441.856334.85710 26435.260802.3979 26435.260816.28573.7136 31434.633803.0445 31434.63386.85713.6109 31434.633815.85713.434 31434.633823.85712.8904 31434.633831.85713.1781 31434.633839.85712.3026 36434.414802.8904 36434.414883.4012 36434.4148172.0794 36434.4148252.4849 36434.4148341.7918 37436.533903.2958 37436.533992.3026 37436.5339122.7726 37436.5339162.3979 37436.533932.42862.3026 39437.845303.3673 39437.8453163.091 39437.845332.57142.8904 46443.759102.7726 46443.75917.14294.1109 50431.477103.0445 50431.4771153.9318 50431.477131.14293.7136 50431.477138.42863.434 54437.891902.1972 54437.891981.0986 54437.8919161.0986 54437.891924.14291.0986 54437.8919320.69