随机变量及其分布(1).ppt

第二章 随机变量的分布与数字特征,为了广泛深入的研究随机现象的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们需要利用数学分析的方法对随机试验结果进行定量的数学处理。于是我需要将试验结果数量化，即将试验结果与实数对应起来。这就是引入随机变量的原因。,2.1 随机变量及其分布,一、随机变量的概念,例1 随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点.,: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点,X(): 1 2 3 4 5 6,例2 某人接连不断地对同一目标进行射击, 直至射中为止, 表示射击次数.,: 射击1次 射击2次 射击n次 ,X(): 1 2 n ,例3 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车, 旅客在任意时 间到达车站,表示该旅客的候车时间.,: 候车x分钟,X(): x,1.定义 设E为随机试验,它的样本空间为=，如果对于每一个均有实数X()与之对应，则称这个定义在上的实单值函数X()为随机变量,简记X()为X.,随机变量常用X、Y、Z 或 、等表示。,2. 随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个 一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个或几个区间.,二、离散型随机变量的概率分布,称为随机变量X的概率分布表。,2. 概率分布的性质,例2.3 X的分布律为,注意:,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率； (3) 列出随机变量的概率分布表.,例1 某射手有5发子弹，每射一次命中的概率为0.9，如果命中 了就停止射击，否则一直射到子弹用尽为止，求耗用子弹 数X的概率分布。,解: X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5.,P(X=1)=0.9,P(X=3)=0.120.9=0.009,P(X=2)=0.10.9=0.09,P(X=4)=0.130.9=0.0009,P(X=5)=0.140.9+0.15=0.0001,3. 例子,解: (1) 由1/8+ 3/8+ 3/8+ a =1可得 a = 1/8,(2) P(1X3)= P(X=1)+P(X=2)= 3/4,(3),三、 分布函数,易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXaF(b)F(a).,注意：这里的定义中的随机变量包含离散型和连续型随 机变量。,1. 定义: 设X是任意一个随机变量, 称函数 F(x)=P(Xx), x 为随机变量X的分布函数.,2. 分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2); 2、对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x0，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故具有这三个性质的函数都称为分布函数。,一般地，对离散型随机变量X，若 PX = xipi, i1, 2, 则其分布函数为,四、 离散型随机变量的分布函数, 求X的分布函数并作图.,解:(1) 当x0时,F(x)=P(Xx)=,=0,(2)当0x1时, F(x)=P(Xx),=P(X=0)=0.3,(3)当1x时,F(x)=P(Xx),=P(X=0)+P(X=1)=1,分布函数图形如下,x,F(x),1,1,0.3,0,离散型随机变量X的分布函数的性质： (1)分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划 分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃 递增; (3)函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应 概率值.,例 设X的分布函数为,求X的概率分布., 定义: 对于随机变量 X, 若存在一个非负可积函数 f (x), x , 使对任意实数x，都有,五、连续型随机变量及其概率密度函数,则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率 密度函数，简称概率密度或密度函数. 简记为X f (x).,x,f (x),-1,1,0,F(-1),F(1),2. 性质: (1) f (x)0 ( x ); (2),（4） 对任意实数b，若Xf (x)，(- x +)， 则 P(X=b)0。,(3) F (x)是(-,+)上的连续函数， 且若x是f(x)的连续点，则,（5）对任意两个实数 a，b (ab)，有,3. 例子,例3.