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1.6随机变量的函数,一、随机变量的函数,定义:设有一实函数 以及随机变量 ,定义一个新的随机变量 ,称随机变量 是随机变量 的函数。,问题:已知 的统计特性,求 的统计特性。,若g(x)为单调连续函数:,1.6随机变量的函数,二、一维随机变量函数的分布,雅可比(Jacobi),例、设随机变量X与随机变量Y的关系为 a,b is constant,已知X的概率密度为fX(x),求Y的概率密度。,1.6随机变量的函数,如果,正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。,若g(x)为非单调函数:,1.6随机变量的函数,其中,例2、设平方律检波器的输入输出关系为 求Y的概率密度。,1.6随机变量的函数,只考虑 为单调情形:,雅可比变换为:,1.6随机变量的函数,三、多维随机变量函数的分布,例3 设X、Y为相互独立的随机变量,有 求Z1和Z2的联合概率密度。,1.6随机变量的函数,两个独立随机变量之和的概率密度为其各自的概率密度的卷积。,两个独立随机变量之积和商的概率密度?,均值:,方差:,1.6随机变量的函数,四、随机变量函数的数字特征,一、特征函数(Characteristic function),若X为离散型随机变量,则有:,1.7随机变量的特征函数,随机变量X的特征函数定义为:,性质:,1.7随机变量的特征函数,若 (C is constant)则:,若 (a,b is constant) 则:,例4、设X为(0,1)分布随机变量,其概率分布为: 求特征函数。,例5、设X为均匀分布随机变量,其概率分布为:,求特征函数。,1.7随机变量的特征函数,例6、若随机变量相应的特征函数分别为: (1) (2),求随机变量的分布。,1.7随机变量的特征函数,2、特征函数与矩的关系,或,1.7随机变量的特征函数,定理:设随机变量X的n阶矩为,一、一维正态随机变量,概率密度:,N(0,1)正态分布概率密度,1.8多维正态随机变量,二、二维正态随机变量,定义:设两个随机变量 ,如果它们的联合概率密度为:,其中r为相关系数。,1.8多维正态随机变量,则称 是联合正态的。,性质:,X1,X2的边缘概率密度也是正态的,若X1,X2的不相关,则r=0,两随机变量相互独立,1.8多维正态随机变量,三、矩阵表示方法,协方差矩阵:,1.8多维正态随机变量,综上,概率密度矩阵表示形式为:,令:,特征函数矩阵表示形式为:,以上矩阵形式均可推广到多维。,1.8多维正态随机变量,四、正态随机变量的线性变换,可见,Y仍然服从正态分布,均值为Lm,协方差阵为LKLT,1.8多维正态随机变量,第三讲:小 结,随机变量的函数,若g(x)为单调连续函数:,若g(x)为非单调连续函数:,随机变量的特征函数,多维正态随机变量,课后作业:1.6、1.16,X1,X2的边缘概率密度也是正态的,若X
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