习题)多元函数微分学基础.ppt

第六章 多 元 函 数 微 分 学,(一) 本 章 内 容 小 结,(二) 常见问题分类及解法,(三) 思 考 题,(四) 课 堂 练 习,(一) 本章内容小结,一、主要内容,1、空间解析几何简介,2、矢量的概念，线性运算及坐标表示，两向量的数量积与 向量积。,3、平面的点法式与一般式方程，直线的标准式与一般式方 程，曲面与空间曲线，常见的二次曲面。,4、多元函数的概念，二元函数的极限与连续。,5、偏导数与全微分。,6、多元复合函数与隐函数的求导法。,7、多元函数的极值、最大值和最小值。,二、对学习的建议,本章的第二节和第三节是空间解析几何较深入的内容，学 时较少的专业可以不学或选学，而对有些专业，如计算机专业， 建筑工程专业，应该是必修的内容，为了配合本章内容的学习， 特提出如下建议，供读者参考。,1、直线、平面方程是用坐标法与向量相结合的方法建立起 来的。学习空间解析几何不仅要熟悉以上图形，更应深入理解 采用数、形结合及运用向量研究空间图形的基本思想和方法。,2、学习空间解析几何部分，应注意对空间图形想像力的培 养，这也是学习多元函数微分的需要。球面、柱面、锥面及旋 转曲面都比较重要，读者能够根据它们的方程辨认，并画出它,们的图形。,3、多元函数微分学与一元函数微分学是相对应的，学习 这一部分内容，应注意用对比的方法，先回顾一下一元函数的 有关内容对理解和掌握多元函数相应的内容是有帮助的。,4、偏导数与复合函数的求导法则是本章的重点，读者务 必理解偏导数的概念及几何意义，并通过较多的练习，熟练、 灵活的掌握连锁法则，确保求导的正确性。,5、求解最值问题是多元函数微分学的重要应用，应给予 足够的重视。在实际问题求解中，关键是建立函数关系式和约 束条件关系式。建立函数关系式的能力，可通过一些习题来加 强。若求出驻点是惟一的，而最值又存在，则该驻点的函数值,三、本章关键词,就是最值。因此求最值的应用问题，实际上就是求函数的驻 点。,空间解析几何,矢量,曲面与曲线,偏导数,全微分,多元复合函数求导,多元函数极值,(二) 常见问题分类及解法,一、求二元函数定义域的方法,解,图6-1 例1函数定义域,二、求二元函数偏导数的方法,1、利用一元函数求导法，只要记住对一个变量求导时，把 另一个变量暂时看作常量就行。,解,2、二元复合函数求偏导数可引入中间变量，一般抽象的函 数求偏导数也要引入中间变量。,解,注：因函数解析式明显给出，也可直接求偏导。,解,3、求隐函数的导数或偏导数。,一般有如下三种方法：,解,解, 求出函数的二阶偏导数., 就每一个驻点考察 B2-AC 的正负，判定极值点. 若有极 值，再根据 A (或 C ) 的正负判断其为极大还是极小值，进 而讨论极值与最值., 若是应用问题，需根据题目条件首先写出取极值的目标函 数，求出驻点，若驻点惟一，最值又存在，则此点即为所求， 不需验证，依题意，指出驻点处为最大或最小值即可.,三、求二元函数的极值与最值的方法,1、基本步骤, 求出函数的一阶偏导数，解出驻点.,解,解,于是，生产第一种商品5单位，第二种商品3单位时利润最 大。(此题在求出驻点后，也可根据步骤，直接得出结果!),2、若是条件极值问题，利用拉格朗日乘数法,其关键在于根据问题写出要求极值的目标函数与条件函 数。构造出拉格朗日函数，求出驻点。之后，根据问题的实 际性，定出极大值或极小值。,解,(三) 思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,(四) 课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,返 回,2、是根据问题写出要求极值的目标函数和条件函数,然后 构造函数求驻点,根据问题的