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第一节 常数项级数的概念和性质,1. 计算半径为R圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,即,一、问题的提出,1. 级数的定义,(常数项)无穷级数,级数的部分和,部分和数列,二、常数项级数的概念,2 级数的收敛与发散,当 无限增大时，如果级数 的部分和 数列 有极限 ，即 则称无穷级数 收敛，这时极限 叫做级数 的和.并 写成,余项,如果 没有极限,则称无穷级数 发散.,即常数项级数收敛(发散) 存在(不存在),例1 讨论等比级数(几何级数),如果 时,综上,解,例2 判别级数 的敛散性.,级数收敛,和为,定理 若级数 收敛,则,三、级数收敛的必要条件,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,2.必要条件但不充分.,有 但级数是否收敛?,例如:调和级数,讨论,假设调和级数收敛,其和为,于是,故该级数发散,即调和级数发散.,8项,4项,2项,2项,项,同时还可以做以下证明：,每项均大于 ,即前 项大于 .,结论 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质1 如果级数 收敛,则 亦收敛.,性质2 设两收敛级数 , ，则 级数 收敛,其和为 .,四、收敛级数的基本性质,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,则,证明,则,性质4 收敛级数加括号所成的级数仍然收敛,且其和不变.,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,例如,推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来的级数也发散.
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