苏教版特征值和特征向量.ppt

2.5特征值与特征向量,复习回顾,1矩阵 的行列式为 , 若有 则矩阵 存在逆矩阵.,3.逆矩阵的求解,复习回顾,5.设线性方程组为,复习回顾,6.用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程:,复习回顾,巩固练习,1、若矩阵M对应的变换是关于原点对称的反射变换， 则矩阵M-1=_;,2.已知矩阵M= , 则矩阵M不存在逆矩阵的充要条件为_;,ad-bc=0,3.将二元一次方程组 ， 写成矩阵方程的形式为_;,学习目标: 1.掌握特征值与特征向量定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义； 2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量； 3.利用矩阵M 的特征值,特征向量给出M n的简单表示；,2.5特征值与特征向量,【探究】 1、计算下列结果：,以上的计算结果与 的关系是怎样的？,2、计算下列结果：,以上的计算结果与 的关系是怎样的？,例题分析,工程技术中的一些问题 如振动问题和稳定性问题 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题 也都要用到特征值的理论,引例: 在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其 中 我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y 恰巧是输入x的 倍，即 ；对某些输 入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系.,例如，对系统 ，若输入 则 若输入 ，则,所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输 入，能使其输出按比例放大，放大倍数 多 少？这显然是控制论中感兴趣的问题.,Mala,l为矩阵M的特征值, a为矩阵M的属于特征值 l的特征向量.,特征值及特征向量的定义,一、特征值与特征向量的概念,定义1: 设为二阶矩阵,若对于实数，存在一个非零向量，使得,则称为的一个特征值， 称为的属于特征值的一个特征向量.,一、特征值与特征向量的概念,定义1: 设为二阶矩阵,若对于实数，存在一个非零向量，使得,则称为的一个特征值， 称为的属于特征值的一个特征向量.,从几何上看特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上.,这时，特征向量或者方向不变（0）， 或者方向相反（0）.,特别地，当=0时，特征向量被变换成了0向量.,设 l是矩阵A= 的一个特征值，它的一个,特征向量为,则,即 满足方程组,故,因 ，所以x,y不全为0，,此时Dx=0、Dy=0.,则D=0,即,建构数学,设矩阵A ，lR，我们把行列式,称为A的特征多项式.,分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)=0,此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解,即 为矩阵A的属于l的一个特征向量.,数学运用,例1、求出矩阵A= 的特征值和特征向量,总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤：,思考 能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？,其几何意义是什么？,如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量.,【定理1】,属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.,属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.,【定理2】,属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？,思考：,注解1: 1.特征值问题只针对方阵而言；,2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量,即一个特征值对应多个特征向量；,3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征向量不能属于不同的特征值,示例 1 求矩阵 的特征值和特征向量.,数学应用,求特征值和特征向量的一般步骤： （1）由 求出所有特征值 ； （2）求解线性方程组 （ 为特征值），则所得非零解X必为特征 向量.,同步归纳,f (l)=0,注解2： （1）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值.,（2）矩阵的特征向量是在变换下的“不变量”；,（3）变换的几何意义: 只改变其特征向量的长度不改变其方向！,例2,数学应用,解：第一步 A的特征多项式为,第二步 由f()=0，得A的特征值1=-2， 2=1,1、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：,（1）矩阵A= 的特征值为_, 则相应的特征向量为_;,（2）矩阵B= 的特征值为_, 则相应的特征向量为_;,（3）矩阵C= 的特征值为_, 则相应的特征向量为_;,练一练,2、求出下列矩阵的特征值与特征向量：,练一练,5. 已知x,y R ，向量 是矩阵 的属于特征值 -2 的一个特征向量，求矩阵 A以及它的另一个特征值.,（15江苏高考）,练一练,概念的引入,知识回顾,新课讲解：,已知向量,求实数m,n，使,建构数学,建构数学,任意向量都可以用特征向量来表示.,数学运用,练一练,练一练,课