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杨浦高级中学2016学年度高二年级第一学期期中数学试卷一、填空题1、求值： 。2、设，则的单位向量 。3、已知，则 。4、方程所表示的直线的一个法向量的坐标为 。5、解方程： 。6、设所成角为，则 。7、设，则在方向上的投影为 。8、设顶点坐标为，则边上中线的一般式方程为 。9、平面上三点满足，则 。10、在直角坐标系中，是坐标原点，点为三角形的直角顶点，已知，且的纵坐标小于零，则的坐标是 。11、将直线，轴及轴围成的封闭区域的面积记为，则 。12、如图，设是直角梯形，满足点分别是边上的点，且，则的取值范围是 。二、选择题13、下列数列的极限存在的是（ ） 14、已知，是两个向量组成的集合，则（ ） 15、设是三阶行列式第行第列的元素，和分别为其余子式和代数余子式（其中），则下列命题中错误的是（ ）是一个二阶行列式B、对于任意三阶行列式，使和的值相等的有序实数对有且仅有5对C、对于任意，都有D、若，则16、设二元一次方程组（*）经过正确的变形得到的方程组的增广矩阵为（其中是常数，且），及方程组（*）的系数行列式为，则下列选项中可能作为的展开式的是（ ） 三、解答题17.(（本题满分8分）)当为何值时，方程组（其中常数）有唯一解？求出唯一解.18.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.若（其中为常数，）(1) 若，求实数的值；(2) 若所组成的角是钝角，求实数的取值范围.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.设无穷等比数列的前项和为（其中且）（1） 求实数的值及的通项公式；（2） 设无穷等比数列满足，其前项和为，求.20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图所示,是以为直角定点的直角三角形，垂足为.(1) 试用表示 ，表示，并证明射影定理：；(2) 在线段上是否存在不同于的点,使得？若存在，求出所有符合条件的点,若不存在，请说明理由.21. （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分4分.小李同学在研究平面向量分解定理时，无意中发现了他爸爸的大学笔记，其中提到了一个“仿射坐标系”的概念： 取定平面上的一点,设是平面上两个不平行的向量，则与是平面上两个不平行的向量，则与构成了仿射坐标系，记作，设，其中，则称有序实数对是在仿射坐标系下的仿射坐标，习惯上仍记作，在仿射坐标系中，设有非零向量,(其中）（1） 设满足所成的角的大小为，若，的仿射坐标系中，求并判断，是否垂直；（2）在仿射坐标系中，求证：（3）笔记中把矩阵叫做仿射坐标系的度量矩阵.小李同学的爸爸在笔记中写了一个真命题：当度量矩阵
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