Wilcoxon符号秩检验.ppt

2.2 Wilcoxon符号秩检验,Wilcoxon符号秩检验 ( Wilcoxon signed-rank test )是非参数统计中符号检验法的改进，它不仅利用了观察值和原假设中心位置的差的正负，还利用了差的值的大小的信息。虽然是简单的非参数方法，但却体现了秩的基本思想。,例 2. 4 下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量（相当于纯酒精数）（单位：升）。数据已经按升幂排列。 4.12 5.18 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12.89 13.54 14.45 人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中 位数相当于纯酒精8升，也就是me0=8。由数据 算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为： H0：me8 ，H1：me 8,先计算每个样本值和原假设中me0的值之差，即Xi8。 考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序，从而求出这些绝对值的秩。 再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假设，接受备择假设。,问题一般提法： 假定样本X1, , X n来自分布连续对称的总体X，在此假定下总体X的中位数等于均值。 问题主要是检验中位数，即原检验为H0：me=me0，相对于各种单双边的备择假设。,注： （1）与符号检验不同： Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的。 （2）在总体分布对称的假设下，即设总体X的分布关于点对称，则X的均值和中位数相同，且均为。所以检验总体中位数可等价于检验总体对称中心。即检验的原假设 H0：M=M0 等价于 H0：=0（相对于各种单双边的备择假设）。,检验步骤： H0： 0 （对应于各单双边备择假设） Step 1. 计算 i=1, 2, , n。记差为z i. Step 2. 将差z i.的绝对值，即 , 按从小到大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨假定样本互不相等，都不等于0，且样本差的绝对值也互不相等。所以可得到样本z i.的绝对值的秩，不妨记 的秩为R i。,Step 3. 符号秩和检验统计量为 其中 或者取检验统计量为 其中 主要取W为检验统计量。,Step 4 设w表示由样本算出的W的值。 （1） H0： 0 , H1： 0 p值P( W w )； （2） H0： 0 , H1： 0 p值P( W w )； （3） H0： 0 , H1： 0 p值2minP( W w )，P(W w),对Step 4的注解： 对于对称中心不为0的总体分布，可以转 化为中心为0的情况进行检验！ 现不妨假设00，则原假设变为 H0：0 对于这种检验，通过严格的证明来说明p值 的选取。,（1）H0： 0 , H1： 0。 若H1成立，则总体X的分布关于点对称。 从而有， P( X0 ) P( Xa ) P( Xa )。 所以当H1成立，不仅观察到的取正值的样本 数据的个数比较多，且取正值的样本数据的 拒绝值也比较大。由此，H1成立时，W的值 较大 。所以p值P( W w)。,例 2. 2中我们的检验设为： H0：M8 ，H1：M 8 下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验 H0：8 ，H1： 8,检验步骤 Step 1. 对于 i=1, 2, , n，计算得到新的样本zi和它们对应的秩如下：,Step 2. 计算W。 W+=2+4+6+7+8+91046 利用W的分布，辅以统计软件，可计算出p值 0.032。 Step 3. 所以给定0.05时，此时可拒绝原假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。,W的分布性质,设独立同分布样本x1,xn来自连续对称总体 X,X分布的对称中心为。为方便讨论，不妨设原假 设为 H0：0， 即总体分布关于原点0对称的条件下，讨论W 的性质。 注：W与W有下列关系： W+ W- = n(n1)/2,（关键）性质 2.1 令 则在总体的分布关于原点0对称时，W与S同分布。 注： S是W当Rii时的特殊情况。研究W 的分布可转为研究S的分布。,概率分布 性质 2.2 在总体的分布关于原点0对称时，W的概率分布为 P ( W+ = d )=P ( Sd ) =t n(d)/2n, 其中，d0, 1, 2, , n(n+1)/2，tn (d)表示从1, 2, , n这n个数中任取若干个数（包括一个都 不取），其和恰为d，共有多少种取法。,对称性 性质 2.3 在总体的分布关于原点0对称时，W服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4，即：对所有的d=0, 1, 2, , n(n+1)/4，有 P ( W+ = n(n+1)/4 d ) P ( W+ = n(n+1)/4 + d ), P ( W+ n(n+1)/4 d ) P ( W+ n(n+1)/4 + d )。,期望方差及渐近正态性 性质 2.4 在总体分布关于原点0对称时， E(W+)=n(n+1)/4， D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24。 性质 2.5 若总体分布关于原点0对称，则在样本容量n趋于无穷大时，W+有渐近正态性： W N（n(n+1)/4，n(n+1)(2n+1)/24）,有结的情况下，用平均秩法。 性质2.6 在总体的分布关于原点0对称，有结秩取平均时， E(W+)=n(n+1)/4， D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24 其中g表示结的个数， 表示第i个结的长度。 有结时，W的期望和方差实际上是条件期望和 方差，它们是在样本数据中给定有g个结，且结的长 度分别给定为 时的条件期望和条件方差。,与符号检验的比较。 续例 2.2 两个不同方向的假设检验。 考虑下面的假设检验： H0：M=12.5, H1：M8 （H1） 对这两个问题分别用Wilcoxon符号秩检验和符 号检验方法。,符号检验结果 对于检验（H1）： S=3, S+=7, 检验统计量KS3， p值0.171875，对0.05，不能拒绝H0。 对于检验（H2）： S=7, S+=3, 检验统计量KS3， p值0.171875，对0.05，不能拒绝H0。 结果完全对称！说明符号检验只与符号有关！,Wilcoxon符号秩检验结果 对于检验（H1）： 检验统计量W+=46 ， p值0.03223，对0.05，拒绝H0。 对于检验（H2）： 检验统计量W11， p值0.05273，对0.05，不能拒绝H0。 结果不对称！说明Wilcoxon符号秩检验不仅与符号有关，还和数值大小有关！,Wilcoxon符号秩检验置信区间,Walsh平均 为利用更多的信息，可求每两个数的平均 ( XiXj )/2, i j，（一共有 n(n+1)/2 个）来扩 大样本数目。这样的平均称为Walsh平均。,Walsh平均和W+的关系。 在原假设成立的条件下，即 H0：0 成立，有 特别当原假设为H0：0成立，有,HodgeLehmann估计量 利用Walsh平均可以得到对称中心的点估计， 即可由Walsh平均的中位数来估计对称中心，称之为 HodgeLehmann估计量。,0 的置信区间。 可利用Walsh平均得到0 的100( 1-)%置信 区间。具体步骤： (1) 先求出满足下面两式的整数k，即k使得 P(W+k)/2，P (W+ nk)/2，,(2) 将求出的Walsh平均数，按升幂排列，记为W(1), , W(N)，N=n(n+1)/2，则0 的100( 1-)%置信区间为 W (k1), W (Nk)。,再看看例2.2的置信区间。 求出其Walsh平均，共55个值。取=0.05，则求得k=9时，有 P(W+ 9)0.025，P (W+ 559)0.025， 所以的95的置信区间为 W (10), W (46) 8.02, 12.73 。,两配对数据比较问题,两成对数据的比较问题可以转化成单样本问题，用符号检验或Wilcoxon符号秩检验做统计分析。方法是将两成对样本作差，观察它们的差值，将其视为新的样本，所以两配对样本实际上就是单一样本。,例 2.3 给12组双胞胎做心理检验，以测量每个人的进取心。我们感兴趣的是对双胞胎进行比较，看第一个出生的是否倾向于比另外一个更有进取心。结果如下，高分显示更多的进取心。表中，Xi表示第一个出生的得分，Yi表示第二个出生的得分。D i表示两者差，即D i Yi Xi, i=1, 2, , 12。Ri表示D i绝对值的秩。则D1，D12是独立同分布的，且设总体为D 。 问题是求D的中位数MD的95置信区间。,Di的12个值按顺序排列为： -15, -12, -10, -8, -7, -4, -3, -1, 2, 5, 6 , 9 取0.05，查表可得k=14。则MD的95的置信区间为 W (15), W (64)。 这15个最小的平均，由(-15-15)/2开始，是 -15, -13.5, -12.5, -12, -11.5, -