空间距离的全部求法.ppt

基础知识 一、七种空间中的距离 1两点间的距离连结两点的 的长度 2点到直线的距离从直线外一点向直线引垂线， 的长度 3点到平面的距离从点向平面引垂线， 的长度 4平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线， 的长度,点到垂足之间线段,点到垂,足间线段,这点到垂足间线段,线段,5异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度 6直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线， 的长度 7两平行平面间的距离夹在两个平面之间的 的长度,线段,这点到垂足,间线段,公,垂线段,二、求距离的方法 从空间中各种距离的定义看，它们基本上都是转化为两点间的距离来计算因此，会求空间中两点的距离是基础，求点到直线和点到平面的距离是重点，求异面直线的距离是难点求解距离问题要注意运用化归与转化思路：面面距离线面距离点面距离点点距离,三、求距离的一般步骤 1找出或作出有关距离的图形 2证明它们就是所求的距离 3利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算求解,易错知识 一、公式应用失误 1异面直线a、b所成的角60，其公垂线为AB，且Aa，Bb，又Ma，Nb，且AM5，BN4，AB3，则MN_.,二、分析问题不全面致误 2不共面的四个定点到平面的距离相等，这样的平面共有 ( ) A3个 B4个 C6个 D7个 解题思路：如图设E、F、G分别为棱AB，AC，AD的中点，则过E、F、G三点的平面P就是高AH的垂直平分面，所以它与A、B、C、D四点等距四面体有四条高，因此，这样的平面共有四个可作，因此，与A、B、C、D四点等距的平面有四个,如图，设k，L分别为BD、BC的中点，则过K、L、F、G四点的平面就是异面直线AB、CD的公垂线段MN的垂直平分面，它与A、B、C、D四点距离相等四面体有三对异面的棱，这样的平面共有3个，因此，这道题的正确答案是7个故选D. 答案：D,回归教材 1下列命题中： PA矩形ABCD所在的平面，则P、B两点间的距离等于点P到BC的距离； 若ab，a，b，则a与b的距离等于a与的距离； 直线a、b是异面直线，a，b，则a、b之间的距离等于b与的距离； 直线a、b是异面直线，a，b，且，则a、b之间的距离等于与之间的距离 其中正确命题的个数有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个,解析：正确，如图1，点线距离可转化为点与点之间的距离；不正确，如图2； 、正确，如图3、图4，异面直线的距离常常可转化为线面或面面之间的距离故选C. 答案：C,2已知平面外不共线的三点A，B，C到的距离都相等，则正确的结论是 ( ) A平面ABC必不垂直于 B平面ABC必平行于 C平面ABC与相交 D存在ABC的一条中位线平行于或在内 解析：平面ABC可以与平行、相交(包括垂直)，故排除A、B、C，选择D. 答案：D,3点P是ABCD所在平面外一点，若P到四边的距离都相等，则ABCD ( ) A是正方形 B是长方形 C有一个内切圆 D有一个外接圆 解析：根据射影长定理，知P的射影O到四边距离相等，所以选C. 答案：C,4(教材改编题)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1.则C1D1的中点E到直线AB的距离为 ( ) 解析：易知其距离为线段BC1的长，BC1的长为. 答案：B,5已知直角三角形EFG的直角顶点E在平面内，斜边FG，且FG6cm，EF、EG和分别成30和45角，则FG到的距离为 ( ) 答案：B,【例1】 (2008启东中学模拟)P为四面体SABC的侧面SBC内的一点，若动点P到底面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹是侧面SBC内的 ( ) A线段或圆的一部分 B椭圆或双曲线的一部分 C双曲线或抛物线的一部分 D抛物线或椭圆的一部分,解析 本题考查学生对圆锥曲线定义的掌握程度；培养学生的探究能力、迁移能力、将空间图形与平面图形的转化能力如图，过点P作PH面ABC于点H，再过点P作POBC于点O，则POH等于二面角SBCA的平面角，从而 由条件知PHPS，所以 sin，当 时，动点P的轨迹是抛物线的一部分；当 时，动点P的轨迹是椭圆的一部分，故选D. 答案 D,(2007西安八校联考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线AA1和BC的距离相等，则动点P的轨迹是 ( ) A线段 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 答案：D,解析：P到直线BC的距离即为P到点B的距离，于是由抛物线的定义知，P点的轨迹为(以AA1为准线，B为焦点的)抛物线的一部分，故选D.,【例2】 (2009重庆，19)如图，在ABC中，B90，AC，D、E两点分别在AB、AC上，使2，DE3.现将ABC沿DE折成直二面角，求：,(1)异面直线AD与BC的距离； (2)二面角AECB的大小(用反三角函数表示) 命题意图 本题主要考查异面直线之间的距离以及二面角的作法和求法，以及空间向量的运用，关键是注意折叠问题中折前与折后的不变量,解析 (1)在图(1)中，因 故DEBC. 又因为B90，从而ADDE. 在图(2)中，因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，从而ADDB.而DBBC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线 下面求DB的长，在图(1)中， 又已知DE3，从而,(2)在图(2)中，过D作DFCE，交CE的延长线于点F，连接AF，由(1)知，AD底面DBCE.由三垂线定理知AFFC，故AFD为二面角AECB的平面角 在底面DBCF中，DEFBCE，,从而在RtDFE中，DE3， DFDEsinDEFDEsinBCE 在RtAFD中，AD4，tanAFD 因此所求二面角AECB的大小为,如下图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是BC的中点，DP交AC于M，B1P交BC1于N， (1)求证：MN是异面直线AC与BC1的公垂线； (2)求异面直线AC与BC1间的距离,解析：(1)欲证MNAC且MNBC1，只要证明,总结评述：异面直线间的距离要控制难度，只要会求给出的公垂线段的情况此题若不提示点P的位置而要你直接求AC与BC1间的距离，则难度大得多作为开阔思路，想一想，还有哪些方法可求之.,【例3】 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBCa，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角MDEA为30. (1)证明：A1B1C1D； (2)求MA的长，并求点C到平面MDE的距离,命题意图 本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象力与思维能力 解析 (1)证明：如图连结CD. 三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， CC1平面ABC， CD为C1D在平面ABC内的射影 ABC中，ACBC，D为AB中点 ABCD，ABC1D. A1B1AB，A1B1C1D.,(2)解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF. D、E分别为AB、BC的中点， DEAC， 又AFCE，CEAC， AFDE. MA平面ABC， AF为MF在平面ABC内的射影， MFDE， MFA为二面角MDEA的平面角，MFA30.,在RtMAF中， MFA30， 作AGMF，垂足为G. MFDE，AFDE， DE平面AMF， 平面MDE平面AMF， AG平面MDE.,在RtGAF中，GFA30，AF， AG，即A到平面MDE的距离为. CADE，CA平面MDE， C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为.,解法二：过点A作CE的平行线，交DE的延长线于F，连结MF. D、E分别为AB、CB的中点， DEAC， 又AFCE，CEAC， AFDE. MA平面ABC， AF为MF在平面ABC内的射影， MFDE， MFA为二面角MDEA的平面角，MFA30.,在RtMAF中， MFA30， 设C到平面MDE的距离为h. VMCDEVCMDE，,(2009重庆，19)如图所示，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD，平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2，E为BS的中点，CE ， AS . 求： (1)点A到平面BCS的距离； (2)二面角ECDA的大小,解析：(1)因为ADBC，且BC平面BCS，所以AD平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离 因为平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，从而ADDS.由ADBC，得BCDS.又由CSDS知DS平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离,(2)如图，过E点作EGCD，交CD于点G，又过G点作GHCD，交AB于H，故EGH为二面角ECDA的平面角，记为.过E点作EFBC，交CS于点F，连结GF.因平面ABCD平面CSD，GHCD，易知GHGF，故 EGF.,【例4】 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12(如图) (1)求证：平面A1BC1平面ACD1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离,分析 证面面平行，只需证其中一个平面内的某两条相交直线平行于另一个平面，而计算面面距离，除找公垂线段外，还可求其中一个平面内任一点到另一平面的距离，也可用“等体积法”计算,解 (1)由于BC1AD1，则BC1平面ACD1. 同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1； (2)设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离 由于VD1A1BC1VBA1C1D1，则,(2009北京，7)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为 ( ),答案：D 解析：依题可知B1AB60，平面A1B1C1D1平面ABCD，A1C1平面A1B1C1D1， B1B即为所求距离，在ABB1中，得B1B.故选D.,1异面直线间的距离的求法： 直接法：找两