《定积分及应用g》PPT课件.ppt

第三章 定积分及其应用,1、定积分求总量的模型 2、微积分基本公式 3、换元积分法、分部积分法 4、定积分的应用举例 5、广义积分,引例1 曲边梯形的面积,（1）,第一节 定积分的概念与性质,用n-1个分点：,个小区间,其长度,设函数在区间,上连续,如上图，过各分点作 x 轴的垂线，,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形其面积为,把,分成,(1) 分割,在每个小区间上任,取一点,设函数在区间,上连续,以,为高，,以,为底，,作 n 个小矩形，其面积分,别为, 则,(2) 取近似,(3) 求和,（四个小矩形）,（九个小矩形）,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,(4) 取极限,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形的面积,由上图观察出：,时,即,实例2 （求变速直线运动的路程）,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,(2) 近似,（1）分割,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,(2) 近似,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,直（不变）代曲（变）,近似,练 习 题,练习题答案,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,五 定积分的性质,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,性质5的推论：,证,（1）,解,于是,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,小结,思考题,思考题解答,例,第二节 微积分基本定理,变速直线运动中路程的两种表示,另一方面设s(t)是t时刻物体所走过的路程,则在这段时间内物体所走过的路程为,一、问题的提出,?,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,是 x 的函数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,例,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,例1 求,原式,例2 设 , 求 .,解,解,例3 求,解,由图形可知,例4 求,解,解 面积,例6 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,练 习 题,练习题答案,定理,一、换元公式,第五节 定积分的换元法,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例1 计算,解,令,例2 计算,解,例3 计算,解,原式,例4 计算,解,令,原式,证,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,例8 计算,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,练 习 题,练习题答案,推导,一、分部积分公式,第五节 定积分的分部积分法,例1 计算,解,令,则,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 设 求,解,例5,解,例6 证明定积分公式,证,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,练 习 题,练习题答案,一、无穷限的广义积分,第七节 广义积分,例1 计算广义积分,解,例2 计算广义积分,解,证,证,二、无界函数的广义积分,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,例5 计算广义积分,解,例6 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,证,例8 计算广义积分,解,瑕点,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,三、小结,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,思考题解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,练 习 题,练习题答案,一、无穷限的广义积分的审敛法,不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.,由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理,第八节 广义积分的审敛法,证,由定理知,例如，,例,解,根据比较审敛法，,例,解,所给广义积分收敛,证,即,收敛.,例5,解,所以所给广义积分收敛.,二、无界函数的广义积分的审敛法,例6,解,由洛必达法则知,根据极限审敛法2,所给广义积分发散.,例7,解,根据比较审敛原理,练 习 题,练习题答案,一、1、收敛； 2、收敛； 3、发散； 4、收敛；,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、近似、求和、取极限.,2、定积分的定义,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,3、存在定理,4、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,6、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,、广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,例1,解,二、典型例题,例2,解,例3,解,例4,解,例6,解,例7,证,作辅助函数,例8,解,练习题,定积分的应用,回顾,曲边梯形求面积的问题,第一节 定积分的元素法 一、问题的提出,第六章 定积分的应用,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、直角坐标系情形,第二节 平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,例7,解：,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,三、小结,练 习 题,练习题答案,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,一、旋转体的体积,第三节 体 积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,二、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解：,交点,立体体积,例7,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,三、小结,练 习 题,练习题答案,一、平面曲线弧长的概念,第四节 求平面曲线的弧长,弧长元素,弧长,二、直角坐标情形,例,1,计算曲线,上相应于,x,从,a,到,b,的一段,弧的长度,.,解,所求弧长为,解,曲线弧为,弧长,三、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长,四、极坐标情形,解,解,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,五、小结,思考题,思考题解答,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,练 习 题,练习题答案,一、变力沿直线所作的功,第五节 功、水压力、引力,解,功元素,所求功为,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,依题意知，每次锤