全微分方向导数和梯度.ppt

二、可微的条件,一、全微分的概念,多元函数的全微分 方向导数与梯度,第三节,第十一章,三、方向导数和梯度,一元函数 y = f (x)：,（当一元函数 y = f (x)可导时）,二元函数 z = f (x,y)：,函数的微分,一、全微分的概念,1. 问题的提出,在点(x,y)的全增量,问题,的线性函数来,近似代替函数的全增量？,可否用自变量的增量,若 z = f ( x, y )在点( x , y )处的全增量,可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,2. 全微分的定义,定义11.5,1 若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数,2 由定义可知, f ( x, y ) 在点( x, y) 可微的 充要条件是:,在D 内可微.,注,定理11.1 (多元函数可微的必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则,(2) 函数z = f (x, y) 在点(x, y) 的两个偏导数,存在,且有,(1) 函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 连续;,从而,二、可微的条件,1. 可微与连续、可导的关系,1 习惯上把自变量的增量用微分表示,因此有,注,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,2可微与连续、可导的关系,(二元以上的函数),可微,连续,可导,例1,.,讨论,(1) 连续性；(2) 可导性；(3) 可微性.,解,(1),(2),(3),例2,.,讨论函数,(1) 连续性；(2) 可导性；(3) 可微性.,解,(1),= 0 = f (0,0),(2),2. 可微与偏导数连续的关系,定理11.2 (多元函数可微的充分条件),若函数,的偏导数,则函数 f (x, y) 在该点可微.,偏导数连续,可微,例3,解,例4 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,例5. 计算函数,的全微分.,解:,求函数,时的全增量和全微分.,解,例6,从而,当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = -0.03 时,可知当,全微分在近似计算中的应用,1. 利用近似公式作计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(用于误差分析),(用于近似计算),三、方向导数 .方向导数的定义,设l 是xoy 平面上以,是与l 同方向的,为始点的,定义11.6,单位向量.,函数 z = f (x, y) 在点P0(x0 , y0 ) 的某个邻域,一条射线，,内有定义，,为l上另一点，且,射线l 的参数方程为,存在，,则称此极限为函数 f ( x, y)在点P0沿方向 l,方向导数，记作,即,2 方向导数的几何意义,过点P0 沿l 作垂直于xoy 面的平面，,面与曲面 z = f (x, y)的交线在曲面上相应点M 处的切线(若存在)关于l 方向的斜率:,该平,2. 方向导数的计算,定理11.3,且有,解,例7,方向导数概念可推广到三元函数：,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,例8. 函数,解,x轴方向夹角为,的射线 l 方向,的方向导数.,并问: 在怎样的方向上此方向导数,解,由方向导数的计算公式知,例9,故,方向导数达到最小值,方向导数达到最大值,四、梯度,从例9 看到,到最大值,函数在点P 沿哪一方向增加的速度最快？,观察向量：,恰好与,同方向，,最大.,这是巧合吗？,不是！,1.定义11.7,设二元函数,为函数 z = f (x, y) 在点 P 处的梯度,记作,( gradient ),在点,具有偏导数，,称向量,例10,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,2. 梯度与方向导数的关系,1,沿梯度相反方向，,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,2,梯度的概念可以推广到三元函数,类似于二元函数，此梯度也有上述性质.,3. 梯度的基本运算公式,称为函数,4. 梯度的几何意义,(1) 等高线,z = f (x, y)的等高(值)线 .,z =c2,z =c1,(2) 等高线上的法向量与梯度的关系,等高线,梯度为等高线上的一个法向量，其指向为：从数值较底的等高线到数值较高的等高线.,例11,证,试证,例12,解,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,3. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,4. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,5. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,思考与练习,函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,1. 选择题,2. 设,解:,利用轮换对称性 , 可得,注意: x , y , z 具有 轮换对称性,3. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,可知当,*二、全微分在近似计算中的应用,1. 利用近似公式作计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(用于误差分析),(用于近似计算),半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例1. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量.,求此圆柱体,例2.计算,的近似值.,解: 设,则,取,则,分别表示 x , y , z 的绝对误差限,2. 利用近似公式作误差估计,利用,令,z 的绝对误差限约为,z 的相对误差限约为,即,则,例3. 利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,例4.在直流电路中,测得电压 U = 24 伏 ,解: 由欧姆定律可知