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2.4 无穷小与无穷大 无穷小的比较,2.4.1 无穷小,2.4.2 无穷大,2.4.3 无穷小的比较,定义1.12 若函数 在自变量 的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中, 为无穷小量简称无穷小,2.4.1 无穷小,例如，当 时， ， ， 是无穷小量；当 时， 是无穷小量 当 时， ， 是无穷小量,我们经常用希腊字母 ， ， 来表示无穷小量,3,注意：,（1）无穷小是以零为极限的变量， 常数中只有零是无穷小,（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的， 例如:,当 时, 为无穷小,当 时, 就不是无穷小,定理1.2 函数 以 为极限的充分 必要条件是： 可以表示为 与一个无穷小量 之和即,其中 ,定义1.10 如果 (或 )时，相应的函数值的绝对值 无限增大，则称 当 (或 )时为无穷大量无穷大量，简称无穷大.,2.4.2 无穷大,6,如果函数 当 时为无穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是无穷大”并记为,7,而且，把限正值的无穷大叫做正无穷大，把限负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为,例如，,（1） 无穷大是个变量，不是常数,（2） 无穷大总和自变量的变化趋势相关联,注意：,时， , 时， 是无穷小,例1,指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大？,解,时， , 时， 是无穷小,时， , 时， 是无穷大,解,时， , 时， 是无穷大,9,解,时， ，所以 时， 是无穷小,时， ,所以 时， 是正无穷大,10,练习一,1.下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？,是无穷大,是无穷小,是无穷大,是无穷小,11,是无穷大,是无穷小,是无穷小,是无穷大,12,13,14,性质1.4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量,无穷小量的性质,性质1.1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量,性质1.2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量,性质1.3 常数乘无穷小量仍是无穷小量,解 因为 ，所以 是有界变量；,例2 求 ,当 时， 是无穷小量,根据性质1.2，乘积 是无穷小量即,练习二,求下列函数的极限,，,，,2.4.3 无穷小的比较,定义1.14 设 、 是同一变化过程中的两个无穷小量，,(2)若 ( 是不等于零的常数)，则称 与 是同阶无穷小量若 ，则称 与 是等价无穷小量,(1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量也称 是比 低阶的无穷小量,21,关于等价无穷小，有下面重要的性质 定理44 设 ， ，且 存在， 则 证明：,22,在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子可用其等价无穷
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