任意角和弧度制.ppt

1.角的定义,角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.,角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？,但在实际问题中还会遇到其他角,探究一：角的形成结果；,在齿轮传动中，被动轮与主动轮是 按相反方向旋转的.,一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以 按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转. 你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转 60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所 形成的角是否相等？,如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说因此，仅有0360范围内的角是不够的,角的形成过程,规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.,.角的方向,任意角,度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要 考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到： 任意大小.,对于 你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？,画图表示一个大小一定的角: (1)先画一条射线作为角的始边，,(2)再由角的正负确定角的旋转方向，,(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，,(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.,问题1： 钟表经过4小时，时针与分针各 转 (填度).,问题：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？,120，450.,120，-1440.,探究二：象限角,思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？,象限角：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。,如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于 任何象限，或称这个角为轴线角.,那么下列各角：-50，405，210, -200，450分别是第几象限的角？,问题：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？,象限角只能反映角的终边所在象限(位置)，不能反映角的大小.,问题2：锐角是第几象限的角？第一象限的角 是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？,思考：在直角坐标系中，135角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135吗？,探究三：终边相同的角,思考1：32，328，392是第几象限的角？这些角有什么内在联系？,32,392,328,与32角终边相同的角有多少个？ 这些角与32角在数量上相差多少？,思考2：所有与32角终边相同的角，连同32角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？,S=|=k360，kZ，即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.,思考3：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内所构成的集合S可以怎样表示？,12948，第二象限角.,300，-60.,例题分析,例1在0360范围内，找出与95012角终边相同的角， 并判定它是第几象限角.,例2求与3900终边相同的最小正角和最大负角.,例2: 写出终边在Y轴上的角的集合 分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合 解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为 终边在Y轴的负半轴上的角的集合为,所以,终边在Y轴上的角的集合为,巩固与提高,写出终边在X轴上的角的集合 写出终边在坐标轴上的角的集合,小结1:终边在轴线上的角的集合,例4用集合的形式表示象限角 第一象限的角表示为 第二象限的角表示为 第三象限的角表示为 第四象限的角表示为,|k360k360+90，（kZ）,|k360+90k360+180，（kZ）,|k360+180k360+270，（kZ）,|k360+270k360+360，（kZ） 或|k36090k360，（kZ）,小结2：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？,第一象限： S=|k3600900k3600,kZ；,第二象限： S=|900k36001800+k3600,kZ；,第三象限： S=|1800k36002700+k3600,kZ；,第四象限： S=|900k3600k3600，kZ.,例3:写出终边在直线 上的角的集合S,并把S中适合不等式 的元素 写出来,中适合 的元素 452x180= - 315 451x180= - 135 45+0x180= 45 45+1x180= 225 45+2x180= 405 45+3x180= 585,S=|=45k180，kZ.,(确定整数k),例4：已知与240角的终边相同，判断 是第几象限的角。,110， 230， 350.,例5已知角的终边与30角的终边关于x轴对称 试在0360范围内，找出与 终边相同的角.,弧度制,一）问题的提出 1、度量角的方法度分秒制把圆周角分为360等份1度的角60等份1分的角60等份1秒的角. 2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应. 当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等.,当n=300时,练习:,当n=600时呢?,可以计算弧长L=,3、实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.,称这个常数为该角的弧度数.,能否用弧长来定义角的大小呢?,二、1弧度角的定义,我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角。,1弧度,单位符号是 rad,读作弧度,弧度把角度单位与长度单位统一起来.,三）弧度数,1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2，所以周角的弧度数为2，周角是2rad 的角. 2、任意一个003600的角的弧度数必然适合不等式 0x2. 3、任一正角的弧度数都是一个正实数； 任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0. 弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢?,4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：,正实数,零,负实数,对应角的弧度数,角度制与弧度制的换算,用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算,若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是 ，而在角度制里它是 ，,因此 ,因为 ,1度角等于多少弧度？,1弧度角等于多少度？,度,解：,角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键,解：,写出一些特殊角的弧度数,（1） ；（2） ,解：（1） ,. 试推出弧长公式和扇形面积公式(角用弧度).,用弧度表示终边在轴线上的角的集合,（1） ；（2） ；（3） ,1把下列各角化成 的形式：,下列角的终边相同的是（ ）,A,与,与,与,与,B,C,D,B,问题：任