线性空间与线性变换(1).ppt

矩阵论,课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 36学时 （36 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著）， 华中科技大学出版社，2005 任课教师： 李锐 联系方式： ,前言,一、课程介绍 研究内容： 矩阵与线性空间和线性变换 以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论 矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究 矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。,二、教学安排,学时配置 讲授第1章至第5章 (36学时) 第1章：8学时; 第2章：7学时 第3章：7学时； 第4章：6学时 第5章：8学时,考核方式：课程结束考试,卷面成绩为最终成绩,第1章：线性空间与线性变换,内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。,1.1 线性空间,一、线性空间的概念 n 维向量空间的回顾 推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。 定义1.1（P .1） 要点： 集合V 与数域 F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画,线性空间的定义,定义 1.1 设V 是一个非空集合，F 是一个数域。在V上定义了一种代数运算，称为加法，记为“+”；定义了F 与V 到V 的一种代数运算，称为数量乘法（简称数乘），记为“”。如果加法与数量乘法满足如下规则：,常见的线性空间,F n=X=（x1，x2，xn）T：x F 运算：向量加法和数乘向量 F mn = A=aijmn：a ijF；R mn ；C mn 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 Pn x=p(x)= ：aiR Ca，b=f（x）：f（x）在a，b上连续 运算：函数的加法和数乘 例 4： V=R+，F=R， a b=ab， a=a ,F=R或C,线性空间的一般性的观点：,线性空间的一般形式： V（F），元素被统称为向量：， ， 线性空间的简单性质（共性）： 定理1 . 1：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是惟一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （4） = （1）,数0,向量0,二、线性空间的基和维数,向量的线性相关与线性无关 设V 是数域 F 上的线性空间， 是V 中一组向量，如果存在r个不全为零的数 F，使得 则称 线性相关；如果向量组 不线性相关，就称为线性无关。,例题1 证明C0，1空间中的向量组ex， e2x，e3x ，enx，x0，1 线性无关。,定理 1 设线性空间V 中向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则可由 线性表示，并且表示法是唯一的。 定义 2 极大线性无关组，秩，基,二、线性空间的基和维数,基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基e1，e2，,en，dim Fn =n Rmn ，自然基Eij，dim Rmn =mn。 Pn x=p(x)= ：aiR Ca，b， 1，x，x2，x3x n-1 Ca,b， dim Ca，b= 约定： V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。,基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基e1，e2，,en，dim Fn =n Rmn ，自然基Eij，dim Rmn =mn。 Pn x=p(x)= ：aiR Ca，b， 1，x，x2，x3x n-1 Ca,b， dim Ca，b= 约定： V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。,三、坐标,1 定义 1 .3 （P . 3)设1，2， n 是空间 的一组基， ， = ，则x1 ， x2， ， xn 是在基i下的坐标。,例1：求 R22中向量 在基Eij下的坐标。,要点： 坐标与基有关 坐标的表达形式,例2 设空间P4x的两组基为： 1，x，x2，x3和 1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。,归纳： 任何线性空间V nF在任意一组基下的坐标属于Fn 。 每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这组基下，向量的坐标容易求得。,2、 线性空间V n（F）与Fn的同构,坐标关系 V n （F） Fn 基1，2，。 n 由此建立一个一一对应关系 V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（） 在关系下，线性空间V n （F）和Fn同构。,同构的性质,定理1.3:V n （F）中向量1，2，n线性相关它们的坐标X1 , X2, ,Xn在Fn中线性相关。 同构保持线性关系不变。 应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。,例题2 设R22中向量组Ai,1 讨论Ai的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合.,四、基变换和坐标变换,讨论： 不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系 基变换公式 设空间中有两组基：,过渡矩阵C的性质： C为非奇异矩阵 C的第i列是 i 在基i 下的坐标,则,过渡矩阵,2 坐标变换公式,已知 空间中两组基： 满足: 讨论X和Y的关系,X=CY,1,2,3,例题4、 已知空间R中两组基（I）Eij （II） 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。 求向量 在基（II）的坐标Y。,例题3、（P6例题11）,五、 子空间,概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可以有集合的运算和关系： Wi V， W1W2， W1W2， 问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 ？,1、 子空间的概念,定义： 设集合WVn（F），W ，如果W中的元素关于Vn（F）中的线性运算为线性空间，则称W是Vn（F）的子空间。 判别方法：定理15 W是子空间 W对Vn（F）的线性运算封闭。 子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法,重要的子空间： 设向量组1，2， mVn（F），由它们的一切线性组合生成的子空间： L1，2，m = ,矩阵AF mn，两个子空间： A的零空间： N（A）=X ： AX=0F n， A的列空间： R（A）= LA1，A2，A nF m， Ai为A的第i列。,2、子空间的“交空间”与“和空间”,讨论：设W 1 Vn（F），W2 Vn（F），都是子空间，则W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ （1） 交空间 交集： W1W2= W1 而且 W 2Vn（F） 定理16 W1W2是子空间，被称为“交空间” （2）和空间 和的集合：W1W2=X1X2X1W1，X2W2，,W1W2 W1W2,定理16 W1W2是子空间，被称为“和空间”，,W1W2不一定是子空间，W1W2 W1W2,例17 设R3中的子空间W1=Le1，W2=Le2 求和空间W1W2。 比较：集合W1W2和集合W1W2。,如果 W1=L1，2， m ， W2=L1，2， k， 则 W1W2=L1，2，m，1，2， k ,3 、维数公式,子空间的包含关系：,dimW1W2 dim Wi dimW1W2 dimVn（F）。 定理17 ： dimW1dimW2=dim（W1W2）dim（W1W2） 证明：,4 、子空间的直和,分析：如果dim（W1W2）0，则 dim（W1W2）dimW1dimW2 所以： dim（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1W2）=0 W1W2=0 直和的定义： 定义16 ： dim（W1W2）=0 ，则和为直和 W=W 1W2=W1W2，,子空间的“和”为“直和”的充要条件 ： 定理18 设W=W1W2，则下列各条等价： （1） W=W1W2 （2） X W，X=X 1X2的表示 是惟一的 （3） W中零向量的表示是惟一的 （4） dim W =dimW1dimW2,例1 P12 例 18 例2 设在Rnn中，子空间 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 证明Rnn=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”,定义1.7 设V 是数域F上的线性空间，V 到F的一个 代数运算记为(,).如果（,)满足下列条件：,12 内积空间,其中k是数域F中的任意数，,是V 中的任 意元素，则称(,)为与的内积。,实数！,一、欧氏空间和酉空间,定义了内积的线性空间V 称为内积空间。特别地，称实数域R上的内积空间V为Euclid空间（简称为欧氏空间）；称复数域C上的内积空间V 为酉空间。,由定义1.7不难导出，在内积空间中有,与 上的标准内积。,1 内积空间的定义 Vn（F）；（，） ， F= R ，欧氏空间；F=C，酉空间 2 常见的内积空间： R n ；(，)= T , C n ；(，)=H , C mn；(A，B)=tr (B H A) PnX ；(f(x)，g(x) )= ,长度为1的向量称为单位向量。,定理1.9 设V 是数域 F 上的内积空间，则向量长度具有如下性质：,单位化,定义1.8 设V 是内积空间，V 中向量 的长度定义为 。,3 向量的长度,(4)中等式成立,当且仅当,不等式(*)有十分重要的应用。例如它在 欧氏空间 中的形式为,Cauchy不等式,定义设V 是内积空间，V 中向量与之间的距离定义为,由定理1.9知，这样定义的距离满足如下三个基本条件：,长度导出的距离.,4 欧氏空间中向量的夹角：,定义 设,是欧氏空间中两个非零向量，它 们之间的夹角定义为,定义 设,是内积空间中两个向量，如果 (,)=0,则称与正交,记为 .,如果与正交，则由(1.6.7)即得“勾股定理”,设V 是数域 F 上的n 维内积空间， 是V 的 一 组基。对任意 ,有,5 线性空间的内积及其计算：,令,称矩阵A为基 的度量矩阵。 显然 ，并且,定理 设 是数域 F上n 维内积空间V 的 一组基，则它的度量矩阵 A 非奇异。,定义 设 ，用 表示以A 的元素的共轭复数为元素组成的矩阵， 称为A的共轭转置矩阵。,矩阵的共轭转置运算具有下列性质：,有限维内积空间中任意一组基的度量矩阵是Hermite阵.,定义 设 ，如果 ，则称A 为 Hermite矩阵；如果 ，则称A 为反Hermite 矩阵。,二、标准正交基,1 标准正交的向量组： 定义： 1，2，n为正交组(i，j ) =0 2 标准正交基 基1， 2，n是标准正交基 (i， j)=,标准正交基的优点：,标准正交基的优点： 度量矩阵是单位矩阵，即A=I =(12 n)X，=(12 n) Y， (，)=YHX = x11x22x n n，xi=(，i) 和正交其坐标 X和Y正交,坐标空间F n的 内 积,求标准正交基的步骤： Schmidt 正交化 标准化 矩阵方法讨论,正交补”子空间 (i) 集合的U的正交集： U=Vn(F )： U，(，)=0 (ii) U是Vn(F)的子空间 U 是Vn(F)子空间 (iii) Vn(F)=U U 。,U的正交补子空间,13 线性变换,一、 线性变换的概念 定义 1.11 (P.19) 要点： （i）T是Vn（F）中的变换： T：Vn（F）Vn（F）。 (ii) T具有线性性： T（）=T（）T（） T（k）=kT（ ）,从一般性的角度给出的定义,例题1 Vn（F）中的相似变换T ：是F中的数，Vn（F），T（）= 。 特例： =1 ， T 是恒等变换， =0 ， T是零变换。,可以在任何线性空间中 定义相似变换!,例题2 Fn中的变换 TA：设A Fnn是一个给定的 矩阵，XFn，TA（X）=AX。 例题3 Pn X中的微分变换：,2 线性变换的性质： （i）T(0)=0 （ii） T()=T() （iii）,3 线性变换的象空间和零空间 设线性变换T：Vn( F )Vn( F )， 象空间 R(T)=： Vn(F)，=T() 零空间 N（T）=：Vn(F ) ，T ( ) =0 ,定义： T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）,线性变换保持线性相关性不变！,例题27 求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象空间和零空间。,R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）,4 线性变换的运算 设T1，T2都是空间Vn(F)中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换： （i） T1T2 Vn（F）， （T1T2）（）=T1（）T2（） （ii） T1T2 Vn（F）， (T1T2)（）=T1（T2（） （iii） kT Vn（F）， （kT）（）=k（T（） （iv） 若T 1是可逆变换，T1 T1( )= 当且仅当T()=。,定义,二、 线性变换的矩阵,1 线性变换的矩阵与变换的坐标式 Vn（F）上线性变换的特点分析：,定义变换T 确定基中向量的象T（i）。 定义T（i） 确定它在基下i的坐标A i 。 定义变换T 确定矩阵A=A1，A2，An,（i） A 为变换矩阵 （ii） 变换的坐标式：Y=AX （iii） 应用意义,例题1 对线性变换 : P4 X P4 X， 求D在基1，X，X2，X3下的变换矩阵。 2 求向量 在变换D下的象。,2 线性变换运算的矩阵对应： 设Vn（F）上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1A1；T2A2 （i） （T1T2） （A1A2） （ii） （T1T2） A1A2 （iii） （kT） kA （iv） T1 A1,3 不同基下的变换矩阵 两组基：1，2，, n ，1，2，, n ， （12 n）=（12 n ）C T（1 2 n ）=（1 2 n）A T（1 2 n）=（1 2 n）B,同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的,B=C1AC,1,2,3,例题2 （P23， eg28）,例题2 （P23， eg28） 例题3 （P24， eg29） 设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的线性变换 P（x）= x - （x，u）u， 求P在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵。 求P在标准正交基u，u2，u3下的变换矩阵。,三、不变子空间,问题的背景： 变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系 1. 不变子空间的概念 矩阵简化要求空间分解的特点 定义(p24, 定义1.14) 2 . 不变子空间的判别 W是T的不变子空间 W T（） W。,特别：W=L 1，2，m， W是T的不变子空间 T（i）W 。,T（W）W。,P24，例题30 R3上的正交投影P：P（x）= x（x，u）u，u是单位向量。证明L（u）和 u =x ：（x，u）=0是P的不变子空间。,3 空间分解与矩阵分解 Vn（F）=WU，W，U是T的不变子空间 ，,W=L 1，r，U= r +