线性方程组与向量组的线性相关性.ppt

线性代数 第四章,第四章 线性方程组与向量组的线性相关性,本章教学内容 1 消元法与线性方程组的相容性 2 向量组的线性相关性 3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 4 线性方程组解的结构,1 消元法与线性方程组的相容性,本节教学内容 1.线性方程组的概念 2. Cramer(克莱姆)法则 3.用消元法解线性方程组,1 消元法与线性方程组的相容性,1.线性方程组的概念 n元线性方程组的一般形式为 记： 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b,1 消元法与线性方程组的相容性,设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 A=(1, 2, ,n)，则方程组可写成向量形式 1x1+2x2+ +n xn =b 若b=0, 即 Ax=0 称为齐次线性方程组 若b0, 即 Ax=b 称为非齐次线性方程组 若n维列向量=(1, 2,n)T满足A=b，则 称x1=1, x2=2, xn=n是Ax=b的一个解， 并称是Ax=b的一个解向量，或说x=是Ax=b的解。,1 消元法与线性方程组的相容性,设n元线性方程组 Ax=b，称Ax=0 为与它对应的齐 次线性方程组， 若n维列向量 (0)满足A=0，则称x= 是齐次线 性方程组Ax=0的一个非零解， 显然x=0是Ax=0的一个解， 称它为Ax=0的零解， 或当然解，或平凡解。 若线性方程组 Ax=b有解，则称它是相容的， 否则称它是不相容的。 性质齐次线性方程组是相容的。,1 消元法与线性方程组的相容性,2. Cramer法则 设n个方程的n元线性方程组 Ax=b， 若A0，则线性方程组Ax=b有惟一解 其中Dj是以b代替A的第 j列所得到的n阶行列式。,1 消元法与线性方程组的相容性,证 Ax=b， #,1 消元法与线性方程组的相容性,例1.1 解线性方程组 解,1 消元法与线性方程组的相容性,Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理 论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个 数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程 组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难. 下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。,1 消元法与线性方程组的相容性,3.用消元法解线性方程组 定义1.1 若线性方程组A1x=b1的解都是线性方 程组A2x=b2的解；反之，线性方程组A2x=b2的解 都是线性方程组A1x=b1的解，则称线性方程组 A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 在中学，我们已经知道 (1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变； (2)方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程 上，方程组的解也不变(即加减消元法)。 因此，就有,1 消元法与线性方程组的相容性,定理1 若(A1, b1)经初等行变换化为(A2, b2)， 则线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 事实上，倍法变换相当于第i个方程两边同乘一 非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变 换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的 解不变。 定义 (A, b)称线性方程组Ax=b的增广矩阵。,1 消元法与线性方程组的相容性,用消元法解线性方程组的思想方法是： 解线性方程组Ax=b (1)用初等行变换将增广矩阵(A, b)化为最简行阶梯 形矩阵(C, d)； (2)解方程组Cx=d，其解即是方程组Ax=b的解.,1 消元法与线性方程组的相容性,例1.2 用消元法解线性方程组 解,1 消元法与线性方程组的相容性,于是方程组的解为,R(A)=R(A,b)=3 (未知量个数) 方程组有惟一解。,1 消元法与线性方程组的相容性,例1 用消元法解线性方程组 解,1 消元法与线性方程组的相容性,原方程组可化为,此称方程组的一般解(或通解),R(A)=R(A,b)=24 (未知量个数) 方程组有无穷多组解, 自由未知量个数=4-2=2.,x3与x4可任意取值， 称为自由未知量,1 消元法与线性方程组的相容性,例2用消元法解线性方程组 解,8,8,6,6,1,1 消元法与线性方程组的相容性,原方程组可化为 所以方程组无解.,1,矛盾方程组,R(A)R(A,b) 方程组无解,1 消元法与线性方程组的相容性,由上述例题可知 定理2 设n元线性方程组 Ax=b， R(A)=R(A,b)=n 方程组Ax=b有惟一解; R(A)=R(A,b)n 方程组Ax=b有无穷多组解, 自由未知量个数=n-R(A) ; (方程组中可任意取值的未知量称自由未知量) R(A)R(A,b) 方程组Ax=b无解. 注：定理1.1、定理1.2及推论1.1自行阅读,1 消元法与线性方程组的相容性,由定理2可知 定理3 设n元齐次线性方程组 Ax=0， R(A)=n 方程组Ax=0有惟一解， 即方程组Ax=0只有零解 A为方阵时，A0 R(A)n 方程组Ax=0有无穷多组解， 即方程组Ax=0有非零解 A为方阵时，A=0 注：定理1.3及推论1.2自行阅读。,1 消元法与线性方程组的相容性,例1.3 判断下列线性方程组是否有解 解,1 消元法与线性方程组的相容性,例1.4 问取何值，下列方程组有非零解 解 当=1或=-2时，A=0,即方程组有非零解。,1 消元法与线性方程组的相容性,本节学习要求 1.理解线性方程组有关的概念； 2.掌握消元法、熟悉克莱姆法则及线性方程组解有关的定理。 作业：习题4.1(A) 第2,3题,2 向量组的线性相关性,本节教学内容 1.线性组合、线性表示和等价关系 2.向量组的线性相关性 3.线性相关性与线性表示法 4.维数、向量个数与线性相关性,2 向量组的线性相关性,1.线性组合、线性表示和等价关系 定义1 若干同维数的列向量(或同维数的行向量)： 1, 2, , s叫做一个向量组. 定义2 若矩阵A按列分块为A=(1, 2, ,n)， 则1, 2, ,n叫做矩阵A的列向量组. 若矩阵A按行分块为 则1, 2, ,m叫做矩阵A的行向量组.,2 向量组的线性相关性,例 矩阵 则 1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)， 是A的行向量组; 是A的列向量组.,2 向量组的线性相关性,定义2.1 设1, 2,s为n维向量组，k1, k2,ks 为一组数，则 k11+k22+ kss 叫做1, 2, ,s的一个线性组合， k1, k2,ks 称 为这个线性组合的系数。 若 =k11+k22+ kss 则称是1, 2, ,s的线性组合， 也称可由1, 2, ,s线性表示 (或线性表出). 注： 可由1, 2, ,s线性表示 线性方程 x11+x22+xss= 有解,2 向量组的线性相关性,例 n维基本列向量 任意n维列向量,2 向量组的线性相关性,定义2.2 若向量组1, 2,s中的每一个向量都 可由向量组1, 2,t 线性表示，则称向量组1, 2,s可由向量组1, 2,t 线性表示；若两个 向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。 性质1若向量组1, 2,s可由向量组1, 2, t 线性表示，向量组1, 2,t 可由向量组1, 2, ,p线性表示，则向量组1, 2,s可由向量组 1, 2,p线性表示。（传递性）,2 向量组的线性相关性,性质2 向量组1, 2,s与向量组1, 2,s等价； 若向量组1, 2,s与向量组1, 2,t 等价， 则向量组1, 2,t 与向量组1, 2,s等价； 若向量组1, 2,s与向量组1, 2,t 等价， 向量组1, 2,t 与向量组1, 2,p等价， 则 向量组1, 2,s与向量组1, 2,p等价。 (证略),2 向量组的线性相关性,2.向量组的线性相关性 定义2.3 设向量组1, 2,s，若存在不全为零 的数1, 2,s，使得 11+22+ss=0, 则称向量组1, 2,s线性相关；否则，称向量组 1, 2,s线性无关。 注：若对任意不全为零的数1, 2,s，都有 11+22+ss0, 则向量组1, 2,s线性无关。,2 向量组的线性相关性,例2.1 证明三维基本列向量组 证：因对任意不全为零的数1, 2,s，都有,线性无关。,2 向量组的线性相关性,由定义易得基本结论： 单个向量线性相关 向量=0 ； 单个向量线性无关 向量0. 向量, 线性相关 向量=k 或=k ； 与 对应分量成比例 向量, 线性无关 向量与 对应分量不成比例. 向量组1, 2,s线性相关 向量组1, 2,s,s+1,m线性相关. 向量组1, 2,s,s+1,m线性无关 向量组1, 2,s线性无关.,2 向量组的线性相关性,定理2.1向量组1, 2,s线性相关 齐次线性方程 x11+x22+xss=0 有非零解. 向量组1, 2,s线性无关 齐次线性方程 x11+x22+xss=0 只有零解. (由定义显然成立) 推论2.1 n维列向量组1, 2,s线性相关 A=(1, 2,s), R(A)s. 推论2.2 n维列向量组1, 2,s线性无关 A=(1, 2,s), R(A)=s.,2 向量组的线性相关性,推论2.1 n维行向量组1, 2,s线性相关 推论2.2 n维行向量组1, 2,s线性无关 ,2 向量组的线性相关性,推论2.3 sn时, n维向量组1, 2,s线性相关. 证：若1, 2,s为n维列向量组，则 A=(1, 2,s), R(A)ns, 故1, 2,s线性相关. 若1, 2,s为n维行向量组，同理可证1, 2, ,s线性相关. #,2 向量组的线性相关性,例2.2 已知向量组1, 2, 3线性无关， 1=1+2，2=2+3，3=3+1， 试证1, 2, 3线性无关. 证：设 x11+x22+x33=0 即 x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0 , 得 (x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0 ， 向量组1, 2, 3线性无关，得,故1, 2, 3线性无关.,2 向量组的线性相关性,例 讨论向量组 的线性相关性。 解,2 向量组的线性相关性,例 讨论向量组 的线性相关性。 又解,2 向量组的线性相关性,例 讨论向量组 的线性相关性。 解,2 向量组的线性相关性,3.线性相关性与线性表示法 定理2.2 向量组1, 2,s(s2)线性相关 1, 2,s中至少有一个向量可由其余s-1个向量 线性表示。 证：) 设1, 2,s线性相关 ，则存在不全为 零的数1, 2,s，使得 11+22+ss=0, 不妨设10，则有 即1可由2, 3,s线性表示。,2 向量组的线性相关性,定理2.3 若向量组1, 2,s线性无关，向量可由1, 2,s线性表示，则表示法是惟一的。 证：设 =k11+k22+kss 且 =11+22+ss 则 (k1-1)1+(k2-2)2+(ks-s)s=0 由1, 2,s线性无关，得 k1-1=k2-2=ks-s=0 即 k1=1, k2=2, ks=s, 故表示法是惟一的。 #,2 向量组的线性相关性,) 设1, 2,s中至少有一个向量可由其余 s-1个向量线性表示，不妨设1可由2, 3,s线 性表示，即 1=k22+k33+kss 则 -1+k22+k33+kss=0 故向量组1, 2,s线性相关. #,2 向量组的线性相关性,定理2.4 若向量组1, 2,s线性无关，向量组, 1, 2,s线性相关，则可由1, 2,s惟一线 性表示。 证：向量组,1, 2,s线性相关，存在不全为 零的数k, k1, k2,ks，使得 k+k11+k22+kss=0 若k=0, 则 k11+k22+kss=0， 由1, 2,s线性无关，得k1=k2=ks=0 ，矛盾. 故k 0, 由定理2.3知表示法是惟一的。 #,2 向量组的线性相关性,4.向量个数与线性相关性 定理2.5 设r维向量组 线性相关，那么去掉每个向量的最后一个分量，所得到的r-1维向量组 仍是线性相关的。 证：设A=(1, 2,s), B=(1, 2,s)， 则 R(B) R(A)s, 故 1, 2,s也线性相关。 #,2 向量组的线性相关性,推论2.4 若r-1维向量组 线性无关，则r维向量组 也线性无关。 证：设A=(1, 2,s), B=(1, 2,s)，则 sR(A)R(B)=s, 即 R(A) =s, 故 1, 2,s也线性无关。 #,2 向量组的线性相关性,定理2.6 若向量组1, 2,s可由1, 2,t 线性 表示，且st，则1, 2,s线性相关. 证： 设i=ki11+ki22+kitt，i=1,2,s. 考察 x11+x22+xss=0 即 有 令 故1, 2,s线性相关. #,因st，它有非零解。,2 向量组的线性相关性,推论2.5 若向量组1, 2,s可由1, 2,t 线性 表示， 1, 2,s线性无关，则有 s t . 推论2.6 若向量组1, 2,s与1, 2,t 等价， 且都线性无关，则有 s= t .,2 向量组的线性相关性,本节学习要求 1.理解向量组的线性组合、线性表示、等价关 系、线性相关与线性无关的概念； 2.熟悉向量组线性相关的有关定理，会判断、证 明向量组的线性无关(或线性相关)。 作业：习题4.2(A) 第2,4,9题,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,本节教学内容 1.向量组的秩 2.矩阵的行秩与列秩,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,1.向量组的秩 定义3.1 若向量组1, 2,s的部分向量组 的个数r称为向量组1, 2,s的秩，记作 R(1, 2,s).,极大线,性无关组，,简称极大无关组；,极大无关组所含向量,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,注 只含零向量的向量组没有极大无关组，规 定它的秩为0； 定义3.1 中的条件(2) 1, 2,s的任意r+1个向量线性相关; 1, 2,s线性无关 R(1, 2,s)=s; 1, 2,s线性相关 R(1, 2,s)0) 向量组的极大无关组未必惟一.,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,定理3.1 向量组与它的任一极大无关组等价. 证: 推论3.1 一向量组的任两个极大无关组等价. 推论3.2 一向量组的秩是惟一确定的.,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,定理3.2 若向量组1, 2,s可由向量组1, 2, ,t 线性表示，则R(1, 2,s)R(1, 2,t ). 证：,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,定理3.3 等价的向量组有相同的秩。 证：设1, 2,s)与1, 2,t 等价， 则1, 2,s可由1, 2,t线性表示， 且1, 2,t可由1, 2,s线性表示， 所以R(1, 2,s)R(1, 2,t )， 且 R(1, 2,t )R(1, 2,s )， 故 R(1, 2,s)=R(1, 2,t ). #,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,例3.1 设向量组1, 2,s可由向量组1, 2,t 线性表示，且R(1, 2,s)=R(1, 2,t )=r， 试证：1, 2,s与1, 2,t 等价. 证：,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,#,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,2.矩阵的行秩与列秩 定义 矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，矩阵 A的列向量组的秩称为A的列秩。 例3.2 设矩阵 A的行向量组 1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)， 显然1,2线性无关， 1,2,3是线性相关， 即1,2是1,2,3是的极大无关组， 故称为A的行秩为2；,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,例3.2 设矩阵 A的列向量组 1, 2线性无关， 3=22-1, 即1, 2是1, 2 ,3是的极大无关组， 故称为A的列秩为2。 这里A的行秩=A的列秩=R(A)=2,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,定理3.4 矩阵A的行秩=A的列秩=R(A). 证：设R(A)=r，则A有r阶子式Dr 0，A中Dr所在 的r个列向量线性无关；而A的任意r+1阶子式Dr+1= 0，则A中任意r+1个列向量线性相关，所以A的列 秩=r. R(AT)=R(A)=r，则AT的列秩=r，即A的行秩=r. 注：由此定理知，可用初等变换求向量组的秩 及极大无关组。 由定理3.4及第三章定理3.1可推知,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,设列 向量组1, 2, ,n, 则 ,(证明自行完成),3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,若B为行阶梯形矩阵，则 ,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,例3.3 设矩阵 求A的秩和A的列向量组1,2,3,4,5的极大无关 组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关 组线性表示。 解,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,可知R(A)=3, 1,2,4是A的列向量组的极大无关组， 3=-1-2， 5=41+32-34.,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,例4 设矩阵 求A的行秩和A的行向量组的极大无关组，并把不 属于极大无关组的行向量用极大无关组线性表示. 解,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,所以A的行向量组1,2,3的秩=2， 1,2是A的行向量组1,2,3的极大无关组， 3=1-22.,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,定理3.5 设A,B均为mn矩阵，则 R(A+B)R(A)+R(B) 证,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,定理3.6 设A为mn矩阵， B为np矩阵，则 R(AB)minR(A), R(B) 证,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,#,3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩,本节学习要求 1.理解向量组的极大线性无关组的概念、向量组的秩的的概念、矩阵的行秩与列秩的概念，熟悉相关的定理。 2.会求向量组的极大线性无关组与向量组的秩，会用极大线性无关组线性表示向量组的其它向量，会讨论证明向量组的秩的问题。 作业：习题4.3(A) 第2(2),3(1),4题。 选做：习题4.3(A) 第5,8题。 习题4.3(B) 第1,2,3题。,4 线性方程组解的结构,本节教学内容 1.齐次线性方程组解的结构 2.非齐次线性方程组解的结构,4 线性方程组解的结构,1.齐次线性方程组解的结构 性质1 证,4 线性方程组解的结构,性质2 证,4 线性方程组解的结构,定义4.1 注 只有零解的齐次线性方程组无基础解系； Ax=0的基础解系是Ax=0的解向量组的一个极大 线性无关组。 ,基础解系。,亦称结构解,4 线性方程组解的结构,定理4.1 n元齐次线性方程组