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第三节 泰勒级数,二、泰勒定理,三、将函数展开成泰勒级数,一、问题的引入,四、典型例题,五、小结与思考,2,一、问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,3,由柯西积分公式 , 有,其中 K 取正方向.,则,4,5,由高阶导数公式, 上式又可写成,其中,可知在K内,6,令,则在K上连续,7,即存在一个正常数M,8,从而在K内,泰勒级数,9,由上讨论得重要定理泰勒展开定理,10,二、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,泰勒介绍,11,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),12,因为 解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就 要比实变函数广阔的多.,注意,问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,13,那末,即,因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,14,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,15,例如，,故有,16,仿照上例 ,17,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,18,例如，,19,附: 常见函数的泰勒展开式,20,21,例1,解,四、典型例题,22,上式两边逐项求导,23,例2,分析,如图,24,即,将展开式两端沿 C 逐项积分, 得,解,25,例3,解,26,例4,解,27,例5,解,28,例6,解,即微分方程,对微分方程逐次求导得:,29,30,五、小结与思考,通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记 五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成 泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数 展开成泰勒级数.,31,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,32,奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,33,泰勒资料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29 Dec
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