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如果积分区域为:,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,二重积分的计算法(1),一、利用直角坐标系计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为:,Y型,X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图,,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,注,)二重积分化累次积分的步骤,画域,选序,定限,)累次积分中积分的上限不小于 下限,)二重积分化累次积分定限是关键,积分限要根据积分区域的形状来确定,这首先要画好区域的草图,画好围成D的几条边界线,,若是X型,,就先 y 后 x,若是Y型,就先 x 后 y ,,注意内层积分限是外层积分变量的函数,外层积分限是常数。,解,积分区域如图,解,积分区域如图,例3 计算,D,解一,D:,X型,解二,D,Y型,例4 计算,解,D,Y型,I =,若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式, 须分片积分,计算较麻烦。,由以上两例可见,为了使二重积分的计算较为方便,究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定,在积分区域的表达式中选取比较简单的一组,从而确定相应的公式,同时还要兼顾被积函数的特点,看被积函数对哪一个变量较容易积分,总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。,例5 计算,解,D是X型区域,要分部积分,不易计算,若先 x 后 y 则须分片,易见尽管须分片积分,但由于被积函数的特点,积分相对而言也较方便。,解,原式,解,解,解,解,曲面围成的立体如图.,例12 计算,解,根据积分区域的特点,应先对 x 后对 y 积分,但由于,对 x 的积分求不出,无法计算, 须改变积分次序。,先 x 后 y 有,奇函数,化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性,有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大,有些题目在计算上差别很大,甚至有些题目对一种次序能积出来,而对另一种次序却积不出来,另外交换累次积分的次序:先由累次积分找出二重积分的积分区域,画出积分区域,交换积分次序,写出另一种次序下的累次积分。,以上各例说明,二、小结,二重积分在直角坐标下的
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