A2(第六章第1、2、3节.ppt

2019年5月20日,高等数学A （二）,1,一点说明：,对于无穷限的广义积分或无界函数 的广义积分 ( 无穷间断点必须在区间的 端点处 ),以像定积分一样进行换元处理。,只要换元函数是单调的, 可,2019年5月20日,高等数学A （二）,2,例4：,为一常义积分,0,0,2019年5月20日,高等数学A （二）,3,例5：,无穷限,且 x = 0 为无穷间断点,称为混合型广义积分.,= 2.,2019年5月20日,高等数学A （二）,4,例6：,且 x = 1 为无穷间断点,混合型广义积分.,无穷限,2019年5月20日,高等数学A （二）,5,2019年5月20日,高等数学A （二）,6,第六章 定积分的应用,2019年5月20日,高等数学A （二）,7,在引出定积分的引例中，我们介绍了计算曲边梯形的面积，变速直线运动的路程等问题。它们所涉及的思想方法是相同的。现在我们把这一思路用更简洁的形式表示出来，以期能用它来解决更多的此类问题。如求旋转体的体积、平面曲线的弧长、变力所作的功及水压力等。,2019年5月20日,高等数学A （二）,8,1 . 定积分的元素法,回顾求曲边梯形面积的步骤：,设 y = f (x) 0, 且在 a, b 上连续。,(1) 分割：得小曲边梯形的面积,(i =1, 2, n),(2) 近似：,(3) 求和：,(4) 逼近：,2019年5月20日,高等数学A （二）,9,其中, 极限固然重要, 但定积分形式的形成关键,在于,(2) 部分量,形成了被积表达式,(1) 所求量具有区间可加性是形成定积分的前提。,为简便起见, 现省去下标。,(1), (2).,的雏形。,2019年5月20日,高等数学A （二）,10,0,x,y,y = f (x),a,b,上的小曲边梯形面积,x,x+dx,又称为面,则小区间长为 dx,记作 d A,或面积微元。,dx,积元素,2019年5月20日,高等数学A （二）,11,只要求出一小块的面积, 其无限的累加即为所求整个曲边梯形的面积。,把面积 A 改为一般的所求量 I, 则有,这一小段的质量,则整段细棒的质量为这一小段质量的无限累加。,这就是定积分的元素法。,的质量：,如长为 l 的细棒上的线密度 连续，则细棒,2019年5月20日,高等数学A （二）,12,2. 定积分在几何学上的应用,现在利用元素法讨论：,(1) 平面图形的面积,(2) 旋转体的体积,(3) 平行截面面积为已知的立体体积,(4) 平面曲线的弧长,(5) 旋转曲面的面积等几何问题。,2019年5月20日,高等数学A （二）,13,1、直角坐标情形,(1) 图形由连续曲线,(a),取任一小区间,以直边近似代替曲边,一、平面图形的面积,x,x+dx,2019年5月20日,高等数学A （二）,14,x,x,.,.,2019年5月20日,高等数学A （二）,15,(2) 图形由两条连续曲线,.,x,2019年5月20日,高等数学A （二）,16,2019年5月20日,高等数学A （二）,17,此时取 y 为积分变量,y .,2019年5月20日,高等数学A （二）,18,求平面图形面积的步骤:,1、作图, 求出交点;,2、选择积分变量, 写出面积元素;,3、作定积分, 并计算.,2019年5月20日,高等数学A （二）,19,(1) 选 x 为积分变量,求交点,(2) 选 y 为积分变量,2019年5月20日,高等数学A （二）,20,解方程组：,得交点：(8, 4), (2,2),选 y 为积分变量,2,4,4,4,如选 x 为积分变量, 请同学们写出计算过程.,2019年5月20日,高等数学A （二）,21,3,3,得两切线的斜率为,故两切线为,其交点的横坐标为,A =,l1,l2,2019年5月20日,高等数学A （二）,22,例4. 求抛物线,在 (0,1) 内的一条切线, 使,它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x, y 轴的交点分别为,所指面积,2019年5月20日,高等数学A （二）,23,且为最小点.,故所求切线为,得 0, 1 上的唯一驻点,2019年5月20日,高等数学A （二）,24,2、参数方程情形,若曲边梯形的曲边由参数方程：,2019年5月20日,高等数学A （二）,25,图形的面积。,(星形线, 又称内摆线),由图形的对称性,0,y,x,0,2019年5月20日,高等数学A （二）,26,3、极坐标情形,的图形面积。,A,(即求曲边扇形的面积),由元素法：,任取,即有面积元素：,2019年5月20日,高等数学A （二）,27,A,2019年5月20日,高等数学A （二）,28,分析：,由直角坐标与极坐标的变换关系：,为圆心在(a, 0), 半径为a 的圆,2a,a,同理,2a,a,2019年5月20日,高等数学A （二）,29,解：,2a,a,2019年5月20日,高等数学A （二）,30,a,a,一圆沿另一等圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,心形线,(圆外旋轮线),观察动点的运动,2019年5月20日,高等数学A （二）,31,a,a,2a,观察动点的运动,心形线,(圆外旋轮线),2019年5月20日,高等数学A （二）,32,2a,0 2,0 r 2a,P,r,心形线,(圆外旋轮线),2019年5月20日,高等数学A （二）,33,2a,0 2,0 r 2a,P,r,x,y,o,a,心形线,(圆外旋轮线),2019年5月20日,高等数学A （二）,34,例2.,2,A =,r = 1+ cos,3,r = 3cos,由,得,A,2,2019年5月20日,高等数学A （二）,35,由对称性,双纽线化成极坐标,令 r = 0,A =,4,+,a,2019年5月20日,高等数学A （二）,36,课 外 作 业,习题 6 2(A),3(3, 5, 7), 8,习题 6 2(B),1(1, 3), 2,2019年5月20日,高等数学A （二）,37,旋转体：,由一平面图形绕这平面内的一条直线,旋转一周而成的立体。此直线称为对,称轴。,如：,圆柱、,圆锥、,圆台、,圆球、,现在利用元素法推导旋转体的体积公式。,二、 立 体 体 积,1、旋转体的体积,2019年5月20日,高等数学A （二）,38,f(x),a,b,求旋转体体积,2019年5月20日,高等数学A （二）,39,f(x),a,b,x,111111111,V =,x+dx,2019年5月20日,高等数学A （二）,40,x=g(y),c,d,2019年5月20日,高等数学A （二）,41,x=g(y),c,d,2019年5月20日,高等数学A （二）,42,x=g(y),c,d,y,y+dy,2019年5月20日,高等数学A （二）,43,a,b,f (x),y,x,0,求旋转体体积 柱壳法,x,dx,在a,b上,2019年5月20日,高等数学A （二）,44,x,a,b,y,x,0,内表面积,dx,求旋转体体积 柱壳法,dV =,2 x f (x)dx,f (x),2019年5月20日,高等数学A （二）,45,b,y,x,0,a,dV =,2 x f (x)dx,f (x),求旋转体体积 柱壳法,2019年5月20日,高等数学A （二）,46,b,y,x,0,a,f (x),求旋转体体积 柱壳法,dV =,2 x f (x)dx,2019年5月20日,高等数学A （二）,47,0,y,0,x,b,x,a,dx,f (x),求旋转体体积 柱壳法,dV =,2 x f (x)dx,2019年5月20日,高等数学A （二）,48,f (x),Y,x,0,b,dx,0,y,z,a,.,求旋转体体积 柱壳法,dV =,2 x f (x)dx,2019年5月20日,高等数学A （二）,49,例1：,绕 x 轴与 y 轴旋转所得立体的体积。,解：,2,(1) 绕 x 轴：,(2) 绕 y 轴：,为中空立体，,法1：, 曲边三角形绕 y 轴旋转所得立体体积,2019年5月20日,高等数学A （二）,50,2,dx,法2：,柱壳法,2019年5月20日,高等数学A （二）,51,例2. 设,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,2019年5月20日,高等数学A （二）,52,例3：,设平面图形 D 由,确定, 求 D 绕直线 x = 2 旋转一周所得立体的体积。,2,解：,1,93年考研题,x,y,D,.y,2019年5月20日,高等数学A （二）,53,2019年5月20日,高等数学A （二）,54,例4：,解：,0，,设 b 0,b,V(b),2019年5月20日,高等数学A （二）,55,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为 A(x) 的立体,a,V,2、平行截面面积为已知的立体的体积,b,2019年5月20日,高等数学A （二）,56,同理: 若立体由曲面及垂直于y 轴的两个平面 y = c, y = d 所围，且垂直于 y 轴的任一截面 面积为一已知连续函数 A(y)，,则立体的体积：,2019年5月20日,高等数学A （二）,57,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 ( 是锐角)角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,x,y,例1,2019年5月20日,高等数学A （二）,58,o,y,R,x,R,R,例1,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 ( 是锐角)角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2019年5月20日,高等数学A （二）,59,o,y,R,x,x,y,R,R,y tan,(x, y),截面积,A(x),例1,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 ( 是锐角)角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2019年5月20日,高等数学A （二）,60,o,y,R,x,R,R,方法2,例1,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 ( 是锐角)角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2019年5月20日,高等数学A （二）,61,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,截面积,S(y),(x, y),= 2x,= ytan,S(y),例1,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 ( 是锐角)角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2019年5月20日,高等数学A （二）,62,课 外 作 业,习题 6 2(A),13(2, 5), 14, 17,习题 6 2(B),4, 7,2019年5月20日,高等数学A （二）,63,当折线段的,最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的,即,并称此曲线弧为可求长的。,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的。,三、平面曲线的弧长,的弧长,2019年5月20日,高等数学A （二）,64,1、弧微分（既弧长元素）,设 y = f (x) 在 a, b 上有连续导数，,在曲线上取基点 M0(x0, y0),设 M(x, y) 为曲线上任一点，,M0 .,x0,M .,x,规定：,依 x 增大的方向作为曲线的正向。,a,b,规定：有向弧段,的值 s 为：,s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向,与曲线的正向一致时，s 0; 否则 s 0。,2019年5月20日,高等数学A （二）,65,s 随 x 的增大而增大, s = s(x) 是 x 的单调,增加函数。,弧微分（既弧长元素）,显然 s 是 x 的函数，即 s = s(x)。,任取,在第一学期中已有相对应的一小段弧长的计算,公式为：,2019年5月20日,高等数学A （二）,66,当曲线是用参数方程,当曲线方程为 y = f (x)，,当曲线用极坐标方程,y 有连续导数,2019年5月20日,高等数学A （二）,67,2、曲线的弧长,设光滑曲线 y = f (x), 计算曲线上相应于,x 从 a 到 b 的一段弧长。,y = f (x) 具有一阶连续导数，,弧长元素,a. 直角坐标情形,2019年5月20日,高等数学A （二）,68,b . 参数方程情形,c . 极坐标情形,2019年5月20日,高等数学A （二）,69,例1：,( 半立方抛物线 ),解：,A,B,1,5,0,2019年5月20日,高等数学A （二）,70,例2：,试在星形线上求一点 M，使,解：,A,B,. M,2019年5月20日,高等数学A （二）,71,因为,2019年5月20日,高等数学A （二）,72,例3：,解：,曲线方程为积分上限函数 y = f (x),2019年5月20日,高等数学A （二）,73,四、旋转曲面的面积,设平面光滑曲线,积分后得旋转体的侧面积,求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积.,取面积元素:,2019年5月20日,高等数学A （二）,74,面积元素,的线性主部。,若光滑曲线由参数方程,给出，,则它绕 x 轴旋转一周所得,不是薄片面积S 的,注意:,旋转面的面积为,2019年5月20日,高等数学A （二）,75,例1. 计算圆,段绕 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .,解:,应用公式得,当球台高 h2R 时, 得,对曲线弧,球的表面积公式,h,2019年5月20日,高等数学A （二）,76,例2. 求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S .,解:,绕 x 轴旋转,利用对称性,2019年5月20日,高等数学A （二）,77,课 外 作 业,习题 6 2(B),9, 11,2019年5月20日,高等数学A （二）,78,3. 定积分在物理学上的应用,2019年5月20日,高等数学A （二）,79,一、变力沿直线所作的功,已知物体沿直线运动时，,若有一不变的力 F,作用在这物体上，且力的方向与运动方向一,致，则当物体移动了距离 s 时，力 F 对这物,体所作的功是：,若力为变力F(x), 但方向不变,则由定积分,现用元素法来解释这一积分方法。,W = F s,定义引例知，,2019年5月20日,高等数学A （二）,80,求变力 F(x) 将物体从 x = a 移动到 x = b 所作的功,( F(x)为连续函数 )。,x,.,.,分割 a, b,dx 很小, 则在这小区间上作用的力 F(x) 可近似看,成常力，,以左端点 x 处的力 F(x) 近似代替，又知,则变力 F(x) 将物体从 x 移动到, 功元素,x+dx,.,移动距离为 dx，,a,b,x+dx 所作的功为：,x,.,2019年5月20日,高等数学A （二）,81,已知把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比，又 1 牛顿的力能使弹簧伸长 1 cm，求把弹簧伸长 10 cm 所作的功。,例1：,解：,x,0,取弹簧平衡位置为原点，,伸长方向为 x 轴,由题意，,(牛顿米),如图建立坐标系。, 功元素,2019年5月20日,高等数学A （二）,82,一等腰三角形水槽（如图）内装满了水，若要将水完全吸尽，需作多少功？,例2：,解：,如图建立坐标系,x,则可选 x 为积分变量。,3,x,把这薄层水吸出水槽需作多少功？,功 = 液