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,可分离变量方程和齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.2,齐次方程,可分离变量方程,第八章,或,形如,形如,8.2.1 可分离变量方程,两边积分, 得,则有,称为方程的隐式通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,形如,若,则,若存在 使得 ，,可直接验证 也是的,解，,这个解有可能不包含在通解中。,解法：,为可分离变量方程。,其中,分别为x , y的连续函数.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,在分离变量时丢失了解 y = 0，但其含在通解中，因为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,允许 C = 0.,令,例2. 求解方程,解: 分离变量得,两边积分得,即,( C 为任意常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,另外 y = 0, x = 0 也是方程的解，它不包含在通解中。,8.2.2 齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,作变量变换,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( C 为任意常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可分离变量方程的求解方法:,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 齐次方程的求解方法：,通过变量变换,将齐次方程转化为可分离变量,方程，,按可分离变量方程的方法解完后，,再将变换代,回即可。,作业,P 353 1 (1) , (3), (5) ; 2 (1), (3) ; 3 (2), (4) .,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,解法 1 分离变量,即,( C
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