hzf第2章——平面问题的基本理论.ppt

,第二章 平面问题的基本理论,2-1 平面应力问题与平面应变问题,在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时，如果经过适当的简化和抽象处理，可以简化为弹性力学平面问题，将使计算工作量大为减少。,一、平面应力问题,图21,等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。,应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,图21,结论：,平面应力问题只剩下三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,共六个应力分量,平面问题的基本理论,特征：,1) 长、宽尺寸远大于厚度。,2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。,注意：平面应力问题z =0，但,二、平面应变问题,x,图 22,平面问题的基本理论,如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。,设有很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。,厚壁圆筒,(1) 几何特征,水坝,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。, 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3) 变形特征,建立如图坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵向线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x、y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,所有各点的位移分量都平行于 x y 平面。, 也叫平面位移问题,水坝, 平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：, 仅为 x、 y 的函数。,如图所示三种情形，是否属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,平面问题的基本理论,-空间问题,三. 平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：, 仅为 x、 y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,应力与体力、面力间的关系；,应变与位移间的关系；, 平衡微分方程, 几何方程,平面问题的基本理论,（3）物理学关系：,应变与应力间的关系。,建立边界条件：, 物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,平面问题的基本理论,（3）混合边界条件；,2-2 平衡微分方程,无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题，所有物理量均与z无关。,下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并由此导出平衡微分方程。从图21所示的薄板取出一个微小的长方形PACB (图23），它在z方向的尺寸取为一个单位长度，在x方向和y方向上的长度分别为dx和dy。,平面问题的基本理论,设作用在单元体左侧面上的正应力是 。,平面问题的基本理论,图23,右侧面上坐标x得到增量dx，该面上的正应力为 ，将上式展开为泰勒级数：,平面问题的基本理论,对平面应力状态考虑体力时，仍可证明切应力互等定理。以通过中心D并平行于z 轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程 ：,将上式的两边除以 得到：,平面问题的基本理论,下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平衡方程：,平面问题的基本理论,平面问题的基本理论,即有平衡微分方程：,这两个微分方程中包含着三个未知函数 。因此决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。,平面问题的基本理论,对于平面应变问题,虽然前后面上还有 ,但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。,解：选择坐标系如图。 因表面无任何面力， 、 、 = 0, 故表面上 在近表面很薄一层 接近平面应力问题。,例题1（习题2-3）试分析说明,在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中,其应力状态接近于平面应力状态。,解：根据题意，本题中 只有 ， 且为