2019高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末小结与测评讲义（含解析）.docx

第二章 点、直线、平面之间的位置关系考点1共点、共线、共面问题1三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上2共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合3三线共点问题证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题典例1在长方体ABCDA1B1C1D1 中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：CE，D1F，DA三线交于一点证明：连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EFA1B，EFA1B.又A1BD1C，EFD1C，E，F，D1，C四点共面，且EFD1C，D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点，又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点对点训练1在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD1，即B，Q，D1三点共线考点2平行关系1空间中平行关系的相互转化2判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面3判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)典例2如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点求证：(1)平面AD1E平面BGF；(2)D1EAC.证明：(1)E，F分别是B1B和D1D的中点，D1FBE且D1FBE.四边形BED1F是平行四边形，D1EBF.又D1E平面BGF，BF平面BGF，D1E平面BGF.FG是DAD1的中位线，FGAD1.又AD1平面BGF，FG平面BGF，AD1平面BGF.又AD1D1ED1，平面AD1E平面BGF.(2)连接BD，B1D1，底面是正方形，ACBD.D1DAC，D1DBDD，AC平面BDD1B1.D1E平面BDD1B1，D1EAC.对点训练2在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EFBC且EFBC.求证：FO平面CDE.证明：如图所示，取CD中点M，连接OM, EM，在矩形ABCD中，OMBC且OMBC，又EFBC且EFBC，则EFOM且EFOM.所以四边形EFOM为平行四边形，所以FOEM.又因为FO平面CDE，EM平面CDE，所以FO平面CDE.考点3垂直关系1空间中垂直关系的相互转化2判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；(4)利用面面垂直的性质3判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a，bab；(3)线面垂直的性质：a，bab.4判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.典例3(2016九江高一检测)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.对点训练3(2016汕尾模拟)如图所示：平面，直线a，且，AB，a，aAB.求证：a.证明：a，过a作平面交于a，则aa.aAB，aAB.，AB，a，a.考点4空 间 角空间角的求法(1)找异面直线所成的角的三种方法利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形典例4如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的一动点(1)证明：PBC是直角三角形；(2)若PAAB2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解：(1)证明：AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点BCAC，PA平面ABC，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，BCPC，BPC是直角三角形(2)如图，过A作AHPC于H，BC平面PAC，BCAH，PCBCC，AH平面PBC，ABH是直线AB与平面PBC所成角，PA平面ABC，PCA即是PC与平面ABC所成角，tanPCA，又PA2，AC，在RtPAC中，AH，在RtABH中，sinABH，即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.对点训练4如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABAC，D、E分别是BC、AB的中点，ACAD，设PC与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为，二面角PBCA的平面角为，则、的大小关系是_解析：D、E分别是BC、AB的中点，DEAC，PC与DE所成的角为PCA，即；PA平面ABC，PD与平面ABC所成的角为PDA，即；过A作AHBC，垂足为H，连接PH，易证BC平面PAH，PHA是二面角PBCA的平面角，即.ABAC，ADAH，又ACAD，ACADAH，tan tan tan ，.答案：考点5折叠问题解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：(1)平面空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形想象出空间图形，完成平面图形与平面图形在认识上的转化(2)空间平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变(3)平面空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系典例5如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起(1)如果二面角ADEC是直二面角，求证：ABAC；(2)如果ABAC，求证：平面ADE平面BCDE.证明：(1)过点A作AMDE于点M，则AM平面BCDE，AMBC.又ADAE，M是DE的中点取BC中点N，连接MN，AN，则MNBC.又AMBC，AMMNM，BC平面AMN，ANBC.又N是BC中点，ABAC.(2)取BC的中点N，连接AN.ABAC，ANBC.取DE的中点M，连接MN，AM，MNBC.又ANMNN，BC平面AMN，AMBC.又M是DE的中点，ADAE，AMDE.又DE与BC是平面BCDE内的相交直线，AM平面BCDE.AM平面ADE，平面ADE平面BCDE.对点训练5如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD2AB2a，BDa，ACBDE，将其沿对角线BD折成直二面角求证：(1)AB平面BCD；(2)平面ACD平面ABD.证明：(1)在ABD中，ABa，AD2a，BDa，AB2BD2AD2，ABD90，ABBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，AB平面BCD.(2)折叠前四边形ABCD是平行四边形，且ABBD，CDBD.AB平面BCD，ABCD.又ABBDB，CD平面ABD.又CD平面ACD，平面ACD平面ABD.（时间120分钟 满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列推理错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADAl，lA解析：选C若直线lA，显然有l ，Al，但A.2下列命题正确的是()A一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直B两条异面直线不能同时垂直于一个平面C直线与平面所成的角的取值范围是：0180D两异面直线所成的角的取值范围是：090.解析：选BA错误一直线与一个平面内的无数条直线垂直，并不意味着和平面内的任意直线垂直，所以此直线与平面不一定垂直；B正确由线面垂直的性质定理可知，两条异面直线不能同时垂直于一个平面；C错误直线与平面所成的角的取值范围是：090；D错误两异面直线所成的角的取值范围是：090.3下列说法不正确的是()A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D平面ABCDAD，显然选项D不正确，故选D.4(2016广州模拟)在空间中，下列命题正确的是()A平行直线在同一平面内的射影平行或重合B垂直于同一平面的两条直线平行C垂直于同一平面的两个平面平行D平行于同一直线的两个平面平行解析：选BA中的射影也有可能是两个点，错误；C中两个平面也可能相交，错误；D中的两个平面也有可能相交，错误所以只有B正确5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1D1解析：选BCE平面ACC1A1，而BDAC，BDAA1，BD平面ACC1A1，BDCE.6(2016湖南师大附中高一检测)设，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：若，则；若，l，则l；若l，m，n，l，则mn.其中正确的说法个数是()A3 B2 C1 D0解析：选B垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故错误；由面面平行的性质知正确；借助于三棱柱可知正确7(2015安徽高考)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选DA项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确8(2016濮阳质检)a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出四个命题：；a；a.其中正确的命题是()A B C D解析：选C正确错在与可能相交错在a可能在内9在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为()A. B. C. D.解析：选C取AC的中点E，CD的中点F，则EF，BE，BF，BEF为直角三角形，cos .10在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A. B. C. D.解析：选D在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE.C1E平面BDD1B1，C1BE的正弦值就是所求角的正弦值BC1，C1E，sinC1BE.11矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为()A. B. C. D.解析：选C球心O为AC中点，半径为RAC，VR3.12如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：选D易知BCD中，DBC45，BDC90，又平面ABD平面BCD，而CDBD，CD平面ABD，ABCD，而ABAD，CDADD，AB平面ACD，平面ABC平面ACD.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MNBC于M，则MN与AB的位置关系是_解析：由平面BCC1B1平面ABCD，知MN平面ABCD.MNAB.答案：垂直14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_解析：B1C1平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，B1C1MN，又B1MN为直角B1MMN，而B1MB1C1B1.MN平面MB1C1，又MC1平面MB1C1，MNMC1，C1MN90.答案：9015如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，ABCDO，且ABCD，SOOB2，P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为_解析：连接PO，则POSA，OPD即为异面直线SA与PD所成的角，且OPD为直角三角形，POD为直角，tanOPD.答案：16(2016福州高一检测)如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA垂直于O所在的平面，AEPB于E，AFPC于F，因此，_平面PBC.(填图中的一条直线)解析：AB是O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，BCAC，PA垂直于O所在的平面，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，AF平面PAC，AFBC，又AFPC，BCPCC，AF平面PBC.答案：AF三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分别是AB、BD的中点求证：(1)EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.证明：(1)E，F分别是AB，BD的中点，EF是ABD的中位线，EFAD，EF平面ACD，AD平面ACD，EF平面ACD.(2)ADBD，EFAD，EFBD.CBCD，F是BD的中点，CFBD.又EFCFF，BD平面EFC.BD平面BCD，平面EFC平面BCD.18(本小题满分12分)(2016常德高一检测)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.证明：(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.19(本小题满分12分)(2016滁州质检)矩形ABCD中，AB2，AD1，E为CD的中点，沿AE将DAE折起到D1AE的位置，使平面D1AE平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF平面D1BC；(2)求证：BED1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EGBC，FGD1B，且EGFGG，EG、FG平面EFG；D1BBCB，D1B、BC平面D1BC.平面EFG平面D1BC，注意到EF平面EFG，EF平面D1BC.(2)易证BEEA，平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面D1AE，且D1A平面D1AE，BED1A.20(本小题满分12分)在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SAAB，SBBC.(1)求证：BD平面SAC；(2)求二面角EBDC的大小解：(1)证明：如图，DESC，且E为SC的中点，又SBBC，BESC.又DEBEE，根据直线与平面垂直的判定定理知SC平面BDE，BD平面BDE，SCBD.又SA平面ABC，BD平面ABC，SABD.又SASCS，BD平面SAC.(2)由(1)知EDC为二面角EBDC的平面角，又SACDEC，EDCASC.在RtSAB中，SAB90，设SAAB1，则SB.由SABC，ABBC，ABSAA，BC平面SAB，SB平面SAB，BCSB.在RtSBC中，SBBC，SBC90，则SC2.在RtSAC中，SAC90，SA1，SC2.cosASC.ASC60，即二面角EBDC的大小为60.21(12分)(2015北京高考)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC，且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面