2019高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系讲义（含解析）.docx

第2课时空间中直线与直线之间的位置关系核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P44P47，回答下列问题(1)在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交(2)若把立交桥抽象成直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不在同一平面既不相交也不平行(3)观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是2归纳总结，核心必记(1)空间直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线的画法(衬托平面法)如图所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托空间两条直线的三种位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面不同在任何一个平面内，没有公共点(2)公理4及定理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示：ab，bcac.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(3)异面直线所成的角定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O作直线aa，bb，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a与b所成的锐角(或直角)范围：090.特别地，当90时，a与b互相垂直，记作ab.问题思考(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定可能平行、相交或异面(2)两条垂直的直线必相交吗？提示：不一定可能相交垂直，也可能异面垂直(3)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？提示：不一定这两条直线可能平行、相交或异面课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)空间直线有哪些位置关系？；(2)公理4及等角定理各是什么？；(3)异面直线所成的角是什么？其取值范围是什么？.观察下图中电线杆所在直线、电线所在直线的位置关系思考1怎样理解异面直线？名师指津：对异面直线的理解：(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线(2)注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线思考2怎样认识异面直线所成的角？名师指津：对异面直线所成角的认识：(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a，b所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算思考3如何从公共点个数或是否共面的角度对空间两条直线分类？名师指津：若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线若从是否共面的角度看，也可分为两类：直线讲一讲1(1)(2014广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定(2)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是_EF与BB1垂直；EF与BD垂直；EF与CD异面；EF与A1C1异面尝试解答(1)构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A，B，C，选D.(2)连接A1B，E、F分别是AB1，BC1的中点，EF是A1BC1的中位线，EFA1C1，故正确错误答案(1)D(2)1判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线(如图)练一练1若a，b，c是空间三条直线，ab，a与c相交，则b与c的位置关系是_解析：在正方体ABCDABCD中，设直线DC为直线b，直线AB为直线a，满足ab，与a相交的直线c可以是直线BC，也可以是直线BB.显然直线BC与b相交，BB与b异面，故b与c的位置关系是异面或相交答案：异面或相交观察下图中的AOB与AOB.思考1这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平行思考2测量一下，这两个角的大小关系如何？提示：相等思考3公理4的作用是什么？名师指津：公理4是论证平行问题的主要依据在公理4中，若把直线a，b，c的平行关系限制在同一平面内，则可看作是公理4的一种特殊情况思考4怎样认识等角定理？名师指津：(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补因此等角定理用来证明两个角相等或互补讲一讲2(1)在空间四边形ABCD中，如图1所示，则EH与FG的位置关系是_(2)如图2所示，在正方体ABCDABCD中，E、F、E、F分别是AB、BC、AB、BC的中点，求证：EEFF.尝试解答(1)连接BD，在ABD中，则EHBD，同理可得FGBD.所以EHFG.(2)证明：因为E、E分别是AB、AB的中点，所以BEBE，且BEBE.所以四边形EBBE是平行四边形所以EEBB，同理可证FFBB.所以EEFF.答案(1)平行1证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点2证明两个角相等的方法(1)利用等角定理；(2)利用三角形全等或相似练一练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.证明：(1)如题图，在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，则EHGH.故E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.讲一讲3已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角思路点拨根据条件和要求的角，解答本题要作出直线AB和MN所成的角，根据点M, N分别是BC，AD的中点，可考虑利用三角形中位线的性质作辅助线尝试解答如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PMAB，且PMAB；PNCD，且PNCD，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角，PMN(或其补角)为AB与MN所成的角因为直线AB与CD成60角，所以MPN60或120.又因为ABCD，所以PMPN，(1)若MPN60，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.(2)若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上，直线AB与MN所成的角为60或30. 求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角范围是(0，90练一练3.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中， E、F分别是棱BC、CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为_解析：连接BC1，AD1，AB1，则EF为BCC1的中位线，EFBC1.又ABCDC1D1，四边形ABC1D1为平行四边形BC1AD1.EFAD1.AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角在AB1D1中，易知AB1B1D1AD1，AB1D1为正三角形，AD1B160.EF与B1D1所成的角为60.答案：60课堂归纳感悟提升1本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题难点是求异面直线所成的角2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法，见讲1.(2)证明两条直线平行的方法，见讲2.(3)求异面直线所成角的解题步骤，见讲3.3本节课的易错点是将异面直线所成的角求错，如讲3.课下能力提升(八)学业水平达标练题组1空间两条直线的位置关系1不平行的两条直线的位置关系是()A相交 B异面C平行 D相交或异面解析：选D若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面2已知a，b是异面直线，直线c直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：选Cc与b可以相交，也可以异面，故选C.3若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()Aac Ba和c异面Ca和c相交 Da和c平行、相交或异面解析：选D如图，在长方体ABCDABCD中，令AD所在直线为a，AB所在直线为b，由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线若令BC所在直线为c，则a和c平行若令CC所在直线为c，则a和c异面若令DD所在直线为c，则a和c相交4正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是_解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交答案：相交5如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_解析：中PQRS，中RSPQ，中RS和PQ相交答案：题组2公理4及等角定理6已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于()A30 B30或150C150 D以上结论都不对解析：选BABC的两边与PQR的两边分别对应平行，但方向不能确定是否相同PQR30或150.7如图所示，在三棱锥SMNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A平行 B相交C异面 D平行或异面解析：选AE、F分别是SN和SP的中点，EFPN.同理可证HGPN，EFHG.8已知ABC120，异面直线MN、PQ.其中MNAB，PQBC，则异面直线MN与PQ所成的角为_解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60.答案：60题组3异面直线所成角的计算9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30 B45C60 D90解析：选C连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.10若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为_解析：如图，B1D与CC1所成的角为BB1D.DBB1为直角三角形tanBB1D.答案：能力提升综合练1(2016福州高一检测)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A相交 B平行C异面而且垂直 D异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示2(2016东营高一检测)若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行 B一定相交C一定是异面直线 D平行、相交或异面都有可能解析：选D当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交3l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选BA选项，l1l2，l2l3，则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面；B选项正确；C选项，l1l2l3，则l1、l2、l3既可能共面，也可能不共面；D选项，如长方体共顶点的三条棱为l1、l2、l3，但这三条直线不共面4(2016衡水高一检测)空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形解析：选B易证四边形EFGH为平行四边形又E，F分别为AB，BC的中点，EFAC，又FGBD，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，EFG90，故四边形EFGH为矩形5(2016重庆高一月考)给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线 a，b，c，d，如果 ab，cd，且 ad，那么 bc.解析：错误，可以异面；正确，公理4；错误，和另一条可以异面；正确，由平行直线的传递性可知答案：6正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是平面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是_解析：连接B1D1，则E为B1D1的中点，连接AB1，EFAB1，又CDAB，B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即B1AB45.答案：457如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由解：如图所示，在平面A1C1内过P作直线EFB1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求理由：因为EFB1C1，BCB1C1，所以EFBC.8在