北京市2019年高考数学压轴卷理.docx

北京市2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知，则的值为（） A. B. C. D.2下列函数中，值域为R的偶函数是（）Ay=x2+1By=exexCy=lg|x|D3若变量满足约束条件,则的最大值为（）ABCD4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（） A. B. C.D.5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A27 B30 C32D366. “”是直线与直线平行的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）A B1 C2 D 38.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（）A BC D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上）9.函数的最小正周期是 ，最小值是 10已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_11. 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为 12.的二项展开式中项的系数为_（用数字作答）13.若，则，有小到大排列为 14.数列满足：，给出下述命题：若数列满足：，则成立；存在常数，使得成立；若，则；存在常数，使得都成立上述命题正确的是_(写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题满分13分）在中，已知，（）求的长；（）求边上的中线的长.16.（本小题满分13分） 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋17 （本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC；（）若M为PD的中点，求证：ME平面PAB；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值18. （本小题满分14分）已知函数.（）当时，求函数的极小值；（）当时，讨论的单调性；（）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.19.（本小题满分14分）已知圆的切线与椭圆相交于，两点（1）求椭圆的离心率；（2）求证：；（3）求面积的最大值.20.（本小题共13分）已知曲线的方程为：.（1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;（3）若方程，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.1.【答案】A【解析】试题分析：因为（1+bi）i=i+bi2=-b+i=-1+i，所以，2【答案】C【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：1，+）y=exex是奇函数y=lg|x|是偶函数，值域为：R的值域：0，+）故选：C3【答案】D【解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，是直线的纵截距，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值故选D4.【答案】C【解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a为35.【答案】A.【解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形，两个直角边长为3，5的直角三角形，该四棱锥的侧面积是，故选A.6【答案】B【解析】时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件故选B7.【答案】C.【解析】由抛物线的定义知：，即当，三点共线时，值最小，故选C.8.【答案】B.【解析】若：当时，又是定义在上的奇函数，符合题意；若：当时，又是定义在上的奇函数，大致的函数图象如下图所示，根据题意可知对于任意恒成立，问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方，根据图象可知，即，综上实数的取值范围是，故选B.9.【答案】.【解析】，最小值是，故填：.10【答案】【解析】，恒成立，且，=因为恒成立，11.【答案】【解析】直线斜率为，所以斜率为1，设直线方程为，由已知直线过点，所以，即所以直线方程为12.【答案】【解析】展开式通项为，令，所以项的系数为13.【答案】【解析】取特殊值，令，则，则，即14.【答案】.【解析】试题分析：对；因为，所以，由已知，所以，即，正确对；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错，对，因为，所以假设，则应有，即原数列应为递增数列，错，对，不妨设，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为15. （本小题满分13分）解：（）由，所以.由正弦定理得，即. . 6分（）在中，.由余弦定理得，,所以.所以. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）2200【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为（2）所有的可能取值为1，2，3，；所以的分布列为123所以的数学期望为（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为17【答案】（）见解析；（）见解析；（）【解析】试题分析：（）证明ABACEFAC推出PA底面ABCD，即可说明PAEF，然后证明EF平面PAC（）证明MFPA，然后证明MF平面PAB，EF平面PAB即可证明平面MEF平面PAB，从而证明ME平面PAB（）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，BCD=135，ABC=45所以ABAC由E，F分别为BC，AD的中点，得EFAB，所以EFAC因为侧面PAB底面ABCD，且BAP=90，所以PA底面ABCD又因为EF底面ABCD，所以PAEF又因为PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以EF平面PAC（）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MFPA，又因为MF平面PAB，PA平面PAB，所以MF平面PAB同理，得EF平面PAB又因为MFEF=F，MF平面MEF，EF平面MEF，所以平面MEF平面PAB又因为ME平面MEF，所以ME平面PAB（）解：因为PA底面ABCD，ABAC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（2，2，0），E（1，1，0），所以，设，则，所以M（2，2，22），易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，得令x=1，得=（1，1，1）因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，所以，即，所以，解得，或（舍）18.（本小题满分14分）解：()当时：，令解得，又因为当，函数为减函数；当，函数为增函数.所以，的极小值为. （）.当时，由，得或.()若，则.故在上单调递增；（）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.()若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（）(1)当时，令，得.因为当时，当时，所以此时在区间上只有一个零点.(2)当时：（）当时，由（）可知在上单调递增，且，此时在区间上有且只有一个零点.（）当时，由（）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，在区间上有且只有一个零点；当时，函数在区间上无零点. ()当时，由（）的单调性结合，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，. 19.（本小题满分14分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆中，满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立的函数关系式，将问题转化为求函数最值.试题解析：（1）由题意可知，椭圆的离心率为；（2）若切线的斜率不存在，则，在中令得，不妨设，则，同理，当时，也有，若切线的斜率存在，设，依题意，即，由，得显然，设，,则，综上所述，总有成立；（3）直线与圆相切，则圆半径即为的高，当的斜率不存在时，由（2）可知，则，当的斜率存在时，由（2）可知，（当且仅当时，等号成立），此时，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为20.（本小题共13分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】试题分析：（1）画出对应的取值的图形，根据图形即可求解；（2）由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导试题解析：（1）当时，由图可知，；（2）要证是关于递增的，只需证明：，由于曲线具有对称