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规范答题示例9解析几何中的探索性问题典例9(12分)已知定点C(1,0)及椭圆x23y25,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点(1)若线段AB中点的横坐标是,求直线AB的方程;(2)在x轴上是否存在点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由审题路线图(1)(2)规范解答分步得分构建答题模板解(1)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为yk(x1),将yk(x1)代入x23y25,消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.2分设A(x1,y1),B(x2,y2),则由线段AB中点的横坐标是,得,解得k,适合.所以直线AB的方程为xy10或xy10.4分(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使为常数()当直线AB与x轴不垂直时,由(1)知x1x2,x1x2. 所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.7分将代入,整理得m2m2m22m.9分注意到是与k无关的常数,从而有6m140,解得m,此时.10分()当直线AB与x轴垂直时,此时点A,B的坐标分别为,当m时,也有.11分综上,在x轴上存在定点M,使为常数.12分第一步先假定:假设结论成立第二步再推理:以假设结论成立为条件,进行推理求解第三步下结论:若推出合理结果,经验证成立则肯定假设;若推出矛盾则否定假设第四步再回顾:查看关键点,易错点(特殊情况、隐含条件等),审视解题规范性.评分细则(1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分;(2)不验证0,扣1分;(3)直线AB方程写成斜截式形式同样给分;(4)没有假设存在点M不扣分;(5)没有化简至最后结果扣1分,没有最后结论扣1分跟踪演练9已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy120相切(1)求椭圆C的方程;(2)设A(4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由解(1)由题意得故椭圆C的方程为1.(2)设直线PQ的方程为xmy3,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(3m24)y218my210,且(18m)284(3m24)0,y1y2,y1y2.由A,P,M三点共线可知,yM.同理可得y
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