2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.2.2换底公式学案湘教版必修.doc

2.2.2换底公式学习目标1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题预习导引1对数的换底公式换底公式：logaN(a0，a1，c0，c1，N0)最常用的换底公式是logaN和logaN.2换底公式的两个重要推论(1)logambnlogab.(2)logab.解决学生疑难点_要点一利用换底公式求值或化简例1求解下列各题：(1)化简(log43log83)；(2)已知log1227a，求log616的值解(1)方法一原式.方法二原式(log223log233)log32log32log23log32.(2)方法一由log1227a，得a，lg 2lg 3.log616.方法二由于log1227log12333log123a，log123.于是log312，即12log32.因此log32.而log6164log62.故log616.规律方法1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logambnlogab.对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值2对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用跟踪演练1(1)求值：log89log2732.(2)已知log23a，log37b，试用a，b表示log1456.解(1)方法一log89log2732.方法二log89log2732log2332log3325log23log32.(2)log23a，log37b.log27ab.log1456.要点二利用对数的换底公式证明等式例2已知a，b，c均为正数，3a4b6c，求证：.证明不妨设3a4b6cm，则m0且m1，于是alog3m，blog4m，clog6m.则由换底公式可得logm3，logm4，logm6，于是2logm3logm4logm(324)logm362logm6.因此等式成立规律方法1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形2由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab进行变换跟踪演练2已知2m5n10，求证：mnmn.证明由已知可得mlog210，nlog510，因此lg2，lg5，于是lg2lg5lg101，即1，故mnmn.要点三对数换底公式的综合应用例3(1)已知11.2a1000,0.0112b1000，求的值；(2)设logac，logbc是方程x23x10的两根，求的值解(1)11.2a1000，lg11.2alg1000，即alg11.23，于是lg11.2.同理可得lg0.0112.于是lg11.2lg0.0112lglg100031.(2)由根与系数的关系可得由换底公式可知因此所以.规律方法对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识跟踪演练32比lg大()A3B4C5D6答案B解析2lg2lga(lgalg100)4.故选B.1下列各式中错误的是()Alogablogba1BlogcdClogcdlogdflogcfDlogab答案D2若2.5x1000,0.25y1000，则等于()A.B3CD3答案A解析由指数式转化为对数式：xlog2.51000，ylog0.251000，则log10002.5log10000.25log100010.3log25125等于()A.B.C2D3答案A解析log25125.4已知log630.6131，log6x0.3869，则x_.答案2解析由log63log6x0.61310.38691.得log6(3x)1，故3x6，x2.5.的值是_答案解析.1.对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计算、化简和证明中将起到重要作用2在什么情况下选用换底公式？(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值一、基础达标1(log29)(log34)等于()A.B.C2D4答案D解析原式(log232)(log322)4(log23)(log32)44.2化简的结果为()Alog38Blog83Clog36Dlog63答案A解析原式log32log34log38，故选A.3已知ln2a，ln3b，那么log32用含a，b的代数式表示为()AabB.CabDab答案B解析log32，故选B.4若lga，lgb是方程2x24x10的两个根，则2的值等于()A2B.C4D.答案A解析由根与系数的关系，得lgalgb2，lgalgb，2(lgalgb)2(lgalgb)24lgalgb2242.5(log43log83)(log32log98)_.答案解析原式()()()().6已知lg9a,10b5，用a，b表示log3645为_答案解析lg9a,10b5，lg5b，log3645.7计算：(1)lg5lg8000(lg2)2lg0.06lg6；(2).解(1)原式lg5(3lg23)3(lg2)2lg62lg63lg5lg23lg53(lg2)223lg2(lg5lg2)3lg523lg23lg521.(2)原式.二、能力提升8若a1，b1，且lg(ab)lgalgb，则lg(a1)lg(b1)的值为()Alg2B1C0D不确定答案C解析lg(ab)lgalgblg(ab)abab，lg(a1)lg(b1)lgab(ab)1lg10.9若log37log29log49alog4，则a_.答案解析log37log29log49alog4.，a2.10若logax2，logbx3，logcx6，则logabcx的值为_答案1解析logabcx，logax2，logbx3，logcx6，logxa，logxb，logxc，logabcx1.11若26a33b62c，求证：.证明设26a33b62ck (k0)，那么6logk223logk3logk(2636)6logk632logk6，即.12设a1，若对于任意的xa,2a，都有ya，a2满足方程logaxlogay3，求a的取值范围解logaxlogay3，logaxy3，xya3，y.函数y(a1)在a,2a上为减函数，又当xa时，ya2，当x2a时，y，a，a2，a，又a1，a2，a的取值范围为a2.三、探究与创新13设x，y，z均为正数，且3x4y6z.(1)试求x，y，z之间的关系；(2)求使2xpy成立，且与p最接近的正整数(即求与p的差的绝对值最小的整数)；(3)比较3x,4y,6z的大小解(1)设3x4y6zt，由x0，知t1，故取以t为底的对数，得xlogt3ylogt4zlogt61，x，y，z，logt6logt3logt2logt4，x，y，z之间的关系为.(2)plogt42log34log316.由91627，得log39log316log327，从而2p3.而p2log316log39log3，3pl