2019版高考数学复习解析几何课时达标检测四十九圆锥曲线中的定点定值存在性问题理.docx

课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一般难度题全员必做 1(2018郑州质检)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点解：(1)由题意得，点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.圆心M的轨迹方程为x24y.(2)设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，联立消去y整理得x24kx80，x1x24k，x1x28.kAC，直线AC的方程为yy1(xx1)即yy1(xx1)xx，x1x28，yxx2，即直线AC恒过定点(0,2)2在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：y21上的非坐标轴上的点，且4kOAkOB10(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)(1)证明：xx，yy均为定值；(2)判断OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则由4kOAkOB10，得10，化简得y2，因为点A，B在椭圆上，所以x4y4，x4y4，把y2代入，整理得(x4y)x16y.结合得x4y，同理可得x4y，从而xx4yx4，为定值，yyy1，为定值(2)SOAB|OA|OB|sinAOB |x1y2x2y1|.由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，SOAB|x1y2x2y1|1，因此OAB的面积为定值1.3(2018广州惠州调研)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以2a|AF1|AF2|2，因此a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28)0，故y0，且3t3.由得(x4x2，y4y2)，所以有y1y4y2，y4y1y2t.又3t3，所以y4b0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问，是否存在一个定点M(t,0)，使得0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故解得t1.存在点M(1,0)符合题意2(2018河北质检)已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)，且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k.x1x2，x1x2，24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.较高难度题学霸做1如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故F点坐标为(1,0)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.故点G的横坐标为，解得k，故直线AB的斜率为或.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，即直线AB斜率存在且不为零由(1)可得G.设D点坐标为(xD,0)因为DGAB，所以k1，解得xD，即D.因为GFDOED，所以S1S2|GD|OD|.所以 ，整理得8k290.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1S2.2(2018广西陆川县模拟)已知椭圆D：x21的左焦点为F，其左，右顶点为A，C，椭圆与y轴正半轴的交点为B，FBC的外接圆的圆心P(m，n)在直线xy0上(1)求椭圆D的方程；(2)已知直线l：x，N是椭圆D上的动点，MNl，垂足为M，问：是否存在点N，使得FMN为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，圆心P既在边FC的垂直平分线上，也在边BC的垂直平分线上，F(c,0)，则边FC的垂直平分线方程为x，因为边BC的中点坐标为，直线BC的斜率为b，所以边BC的垂直平分线的方程为y，联立，解得m，n，因为P(m，n)在直线xy0上，所以0，即(1b)(bc)0，因为1b0，所以bc.由b21c2，得b2c2，所以椭圆D的方程为x22y21.(2)由(1)，知F，椭圆上的点的横坐标满足1x1，设N(x，y)，由题意得M(，y)，则|MN|x|，|FN|，|MF| .若|MN|FN|，即|x| ，与x22y21联立，解得x1，