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1.3.1 第2课时 等比数列的性质A基础达标1等比数列an的公比q,a1,则数列an是()A递增数列B递减数列C常数列 D摆动数列解析:选D.由于公比q0,所以a4a8.答案:7在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是_解析:设此三数为3,a,b,则解得或所以这个未知数为3或27.答案:3或278设x,y,z是实数,9x,12y,15z成等比数列且,成等差数列,则的值是_解析:由题意可得所以y,所以135xz,化简得15x215z234xz,两边同时除以15xz可得.答案:9三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数和为6,求这三个数解:由已知,可设这三个数为ad,a,ad,则adaad6,所以a2,这三个数可表示为2d,2,2d,若2d为等比中项,则有(2d)22(2d),解之得d6,或d0(舍去)此时三个数为4,2,8.若2d是等比中项,则有(2d)22(2d),解之得d6,或d0(舍去)此时三个数为8,2,4.若2为等比中项,则22(2d)(2d),所以d0(舍去)综上可求得此三数为4,2,8.10等比数列an的各项均为正数,且2a13a21,a9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bnlog3a1log3a2log3an,求数列(n2,nN)的前n项和解:(1)设等比数列an的公比为q,因为a9a2a69a,所以q2,因为an0,所以q0,所以q,因为2a13a22a13a1q1,所以3a11,a1,所以an.(2)bnlog3a1log3a2log3anlog3(a1a2an)log3.设数列的前n项和为Sn,则Sn222.B能力提升11数列an的首项为1,数列bn为等比数列且bn,若b10b112,则a21()A20 B512C1 013 D1 024解析:选D.因为bn,且b10b112,又bn是等比数列,所以b1b20b2b19b10b112,则b1b2b3b20210,即1 024,从而a211 024a11 024.12在等比数列an中,若a7a8a9a10,a8a9,则_解析:因为,又a8a9a7a10,所以.答案:13如图所示,在边长为1的等边三角形A1B1C1中,连接各边中点得A2B2C2,再连接A2B2C2的各边中点得A3B3C3,如此继续下去,试证明数列SA1B1C1,SA2B2C2,SA3B3C3,是等比数列证明:由题意,得AnBnCn(n1,2,3)的边长AnBn构成首项为1,公比为的等比数列,故AnBn,所以SAnBnCn,所以.因此,数列SA1B1C1,SA2B2C2,SA3B3C3,是等比数列14(选做题)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1055,S20210.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,是否存在m,k(km2,m,kN)使得b1,bm,bk成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m,k的值;若不存在,请说明理由解:(1)设等差数列an的公差为d,则Snna1d.由已知,得即解得所以ana1(n1)dn(nN)(2)假设存在m,k(km2,m,kN)使得b1,bm,bk成等比数列则bb1bk.因为bn,所以b1,bm,bk,所以.整理,得k.以
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