2019版高考数学大复习概率第51讲古典概型优选学案.docx

第51讲古典概型考纲要求考情分析命题趋势1.理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率2017全国卷，112017山东卷，162017天津卷，3古典概型主要考查实际背景的等可能事件，通常与互斥事件、对立事件等知识相结合进行考查分值：5分1基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是_互斥_的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基本事件_的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个_；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等_.3古典概型的概率公式P(A).1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同()(2)从3，2，1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同()(3)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同()(4)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率()(5)“从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC的概率是多少”是古典概型()解析(1)错误摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为.(2)正确取到小于0的数的概率为，取到不小于0的数的概率也为.(3)错误男同学当选的概率为，女同学当选的概率为.(4)错误由于正方形内点的个数具有无限性，与古典概型不符(5)错误线段上的点及所取的点不具有古典概型所满足的有限性，所以(5)错误2从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为(C)ABCD1解析基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种，甲被选中共2种，则P.3从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是(D)ABCD解析从六个数中任取2个数有15种取法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P1.4将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为(B)ABCD解析依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故1,2号盒子中各有一个球的概率为.5(2018湖南五市十校联考)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(A)A B C D 解析设齐王的三匹马按上等、中等、下等分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马按上等、中等、下等分别记为b1，b2，b3.齐王与田忌赛马，其情况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，共9种；其中田忌的马获胜的有(a2，b1)，(a3，b1)，(a3，b2)，共3种，则田忌获胜的概率为.故选A一简单的古典概型问题求古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n.(2)算出事件A包含的所有基本事件的个数m.(3)代入公式P(A)，求出P(A)【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率解析(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以P(A).(2)基本事件同(1)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B).二复杂的古典概型问题复杂事件的概率问题的求法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解【例2】 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解析(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以P(A).因此“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种所以P(B)1P()1.因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.三古典概型的知识交汇问题古典概型可以出现在很多问题背景下，关键是理解题目的实际含义，找出基本事件的总数及目标事件的数目【例3】 已知向量a(x，1)，b(3，y)，其中x随机选自集合1,1,3，y随机选自集合1,3,9(1)求ab的概率；(2)求ab的概率解析由题意，得(x，y)所有的基本事件为(1,1)，(1,3)，(1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个(1)设“ab”为事件A，则xy3.事件A包含的基本事件有(1,3)，共1个故ab的概率为P(A).(2)设“ab”为事件B，则y3x.事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个故ab的概率为P(B).1下列试验中，是古典概型的个数为(B)向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率A0B1C2D3解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型的基本事件都不是有限个，不是古典概型符合古典概型的特点，是古典概型问题2(2017山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1，但不包括B1的概率解析(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包含A1但不包含B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P.3如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用m(mN)表示.(1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；(2)当m3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率解析(1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，由(87899193)859091(90m)，得m4，设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有0,1,2，9，共有10种可能当m4时，甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，当m5,6,7,8,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有5种可能，乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为P(A).(2)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件B，当m3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有16种，分别为(87,85)，(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,90)，(89,91)，(89,93)，(91,85)，(91,90)，(91,91)，(91,93)，(93,85)，(93,90)，(93,91)，(93,93)事件B的结果有8种，它们为(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,93)，(91,85)，(93,85)，(93,90)两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率为P(B).4设a2,4，b1,3，函数f(x)ax2bx1.(1)求f(x)在区间(，1上是减函数的概率；(2)在(1)的条件下，从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1)处的切线互相平行的概率解析(1)f(x)axb，由题意知f(1)0，即ba，而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，共4种，满足ba的有3种，故概率为.(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法函数f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)ab，这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，满足题意的概率为.错因分析：误认为题目中所有的基本事件的出现都是等可能的，而有些时候基本事件的出现不是等可能的，从而造成错解，如对于下面的例题会误认为基本事件共有4个：(正正正)(正正反)(正反反)(反反反)，其实这四种结果的出现不是等可能的【例1】 同时投掷三枚质地均匀的硬币一次，三枚硬币同时正面向上的概率为_.解析由题意作出树状图如下：一共有8种情况，三枚硬币同时正面向上只有1种情况，所以P(三枚硬币同时正面向上).答案【跟踪训练1】 (2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(C)ABCD解析从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P.故选C课时达标第51讲解密考纲古典概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现，有时与集合、函数、不等式等知识综合，以解答题形式出现一、选择题1从1,2,3,4,5中随机选取一个数a，从1,2,3中随机选取一个数b，则ab的概率为(D)ABCD解析从1,2,3,4,5中随机选取一个数的取法有5种，从1,2,3中随机选取一个数的取法有3种，所以a，b的可能结果有5315(种)，其中ab的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为.故选D.二、填空题7将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_.解析设2本数学书分别为A，B，语文书为C，则所有的排放顺序有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC，BAC, CAB，CBA，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P.8甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_.解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种故所求概率为P.9(2018福建三明一中月考)已知集合A，若kZ，且kA，使得过点B(1,1)的任意直线与曲线x2y2kx2yk0总有公共点的概率为_.解析由题意知A1,2)，kZ且kA，可得k有1,0,1三个值，过点B(1,1)的任意直线与圆x2y2kx2yk0总有公共点，即点B(1,1)在圆上或圆内，即2k2k0，得k0，即k有1,0两个值，由古典概型的概率公式知，所求概率为.三、解答题10一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率解析(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1,2，1,3两个因此所求事件的概率P.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率为P1.故满足条件nm2的事件的概率为1P11.11设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，