闭区间上连续函数的性质的教学非常好.ppt

,定理1 设 在闭区间 上连续，则 在 上存在最大值和最小值，即 使得,1、最大值和最小值定理,2.6 闭区间上连续函数的性质,设f (x)在闭区间a, b上连续，则,(i) f (x)在a, b上为单调函数时,2.6 闭区间上连续函数的性质,此时，函数 f (x)恰好在 a, b的端点a和b取到最大值和最小值.,y=f (x)a, b, 则,y=f (x)a, b, 则,2.6 闭区间上连续函数的性质,(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时，如图中所示，,2.6 闭区间上连续函数的性质,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,2.6 闭区间上连续函数的性质,定理2 设 在闭区间 上连续，则 在 上有界.,函数 在 上无上界：,2、有界性定理,2.6 闭区间上连续函数的性质, f (x)在 a, b上可取到它的最大值M和最小值m，,证： f (x)在闭区间a, b上连续,故 m f (x) M xa, b,| f (x)| M* xa, b,令 M* = max |m|, |M|, 则,即 f (x)在a, b上有界.,2.6 闭区间上连续函数的性质,3、 零点存在性定理,定理3：设 f (x)在闭区间a, b上连续，且f (a) f (b)0，则至少存在一点(a, b)，使得 f ( )0.,几何解释:,2.6 闭区间上连续函数的性质,4、介值 定理,定理4：设 f (x)在闭区间a, b上连续，f (a)A, f (b)B, 且AB, 则对于A，B之间的任意一个数C，至少存在一点(a, b)，使得 f ()=C,定理4：设 f (x)在闭区间a, b上连续，则存在最大值最大值M和最小值m，对于M和最m之间的任意一个数C，至少存在一点(a, b)，使得 f ()=C,2.6 闭区间上连续函数的性质,证：令 (x)=f (x)C,故, 由根存在定理，至少存在一点(a, b)使,则 (x)C(a, b) ., C在A，B之间, (a) (b) = (f (a)C)(f (b) C),(AC)(BC)0, (x)= 0，即 f (x) = C .,推论：设 f (x)在闭区间a, b上连续，则f (x)取得介于其在a, b 上的最大值M和最小值m之间的任何值,就是说，mCM, 则必存在a, b, 使得f ()=C.,例1：设 f (x)在闭区间a, b上连续， a x1 x2 xn b , 证明: 至少存在一点x1 , xn ，使得,2.6 闭区间上连续函数的性质,证： f (x)在闭区间a, b上连续.,有,从而,由介值定理，至少存在一点x1 , xn ，使,综上所述，命题获证.,mf (xi) M.,2.6 闭区间上连续函数的性质,例2: 证明方程x53x =1, 在x=1与x=2之间至少有一根.,证： 令 f (x)= x53x1，x1, 2,则 f (x)在闭区间1, 2上连续,又 f (1)= 3， f (2)= 25，即 f (1) f (2) 0,即 方程在x=1与 x=2之间至少有一根.,故 至少存在一个(1, 2)，使得 f ( )=0,2.6 闭区间上连续函数的性质,例3,证,由零点定理,2.6 闭区间上连续函数的性质,而 f (0)=0a sin0b = b 0,f (a+b)=(a+b)a sin(a+b)b =a(1sin(a+b)0,设 f (x)=x a sinxb , x0, a+b,则f (x)在闭区间0, a+b上连续,例4：证明：方程 x=a sinx+b (a 0, b 0)至少有一个不超过a+b的正根.,证：问题归结为在0, a+b上求方程的根的问题.,2.6 闭区间上连续函数的性质,1) 如果 f (a+ b)0，则= a+ b 就是方程的根.,综上所述，方程在0, a+b上至少有一个根, 即至少有一个不超过a+b的正根.,2) 如果 f (a+ b) 0, 则f (0) f (a+b)0，由根存在定理, 至少存在一个(0, a+b)，使得 f ()=0.,2.6 闭区间上连续函数的性质,例5,证明,讨论:,2.6 闭区间上连续函数的性质,由零点定理知,综上,2.6 闭区间上连续函数的性质,2.6 闭区间上