高中数学全程复习方略313导数的几何意义(共54张.ppt

3.1.3 导数的几何意义,1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通过函数的图象理解导数的几何意义. 2.了解导函数的概念,会求导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.,1.本课重点是求曲线上某点处的切线方程. 2.本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程.,1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义 （1）几何意义：是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的 _. （2）相应的切线方程：_. 2.导函数的概念 （1）定义式： . （2）f(x0)与f(x)的区别：f(x0)是一个确定的数，f(x)是随x的变化而变化的一个函数.,斜率,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),1.曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个？ 提示：不一定.曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点. 2.导数与切线有何联系？ 提示：函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)是曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率，即k=f(x0).,3.设曲线y=f(x)=ax2在点（1,a）处的切线与直线2x-y-60平行，则a=_. 【解析】f(x)= = 由题意得f(1)=2,故2a=2,a=1. 答案：1,4.如果f(x)=x2，那么f(x)在点x= 处的切线的倾斜角是_. 【解析】由导数的定义，得f(x)= = = (2x+x)=2x. 由导数的几何意义，得f(x)在x= 处的切线的斜率为k=f( )=2 =1.该切线的倾斜角为 . 答案：,1.导数的几何意义 如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点, Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PMx轴,QMy轴,为PQ的倾斜角.,P,Q,M,y=f(x),O,y,x,则MP=x,MQ=y, =tan.显然， 是割线PQ的斜率.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率称为曲线在点P处的切线的斜率. 即k切线=f(x0)= 这个概念:（1）提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；（2）说明了切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,2.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系 （1）区别 函数在一点处的导数，就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变量. 函数的导数，是对某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数f(x).,(2)联系：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在x=x0处的函数值，即f(x0)=f(x)|x=x0.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.所以，求函数在一点处的导数，通常是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值.,求切线方程 【技法点拨】 1.求曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线方程的三个步骤 （1）求出函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)，即切线的斜率（关键词：斜率）. （2）根据直线的点斜式方程，写出切线方程:y-f(x0)= f(x0)(x-x0)（关键词：写方程）. （3）化简直线方程成一般式（关键词：化简）.,2.求曲线y=f(x)过点P(x0,f(x0)的切线方程的五个步骤,设切点为(m,f(m),求f(m)，即切线的斜率,写切线的点斜式方程y-f(m)=f(m)(x-m),将已知点(x0,f(x0)代入切线方程求得m的值,把m的值回代切线方程并整理,【典例训练】 1.函数y=f(x)= 在x=1处的切线方程为_. 2.已知曲线C：f(x)=x3. （1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； （2）求过点(1,1)与f(x)=x3相切的直线.,【解析】1.y|x=1=f(1)= 则切线方程为y1=(x1)， 即x+y2=0. 答案：x+y2=0,2.(1)f(x)= =3x2, f(1)=312=3，又f(1)=13=1, 切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0.,（2）设切点为P（x0,x03）， 由（1）知切线斜率为k=f(x0)=3x02， 故切线方程为y-x03=3x02(x-x0). 又点（1,1）在切线上，将其代入切线方程得 1-x03=3x02(1-x0)， 即2x03-3x02+1=0， 解得x0=1或x0=- .,故所求的切线方程为 y-1=3(x-1)或y-1= (x-1)， 即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.,【互动探究】题2第（1）小题中的切线与C是否还有其他的公共点？ 【解题指南】只需要联立切线方程与曲线方程，解方程组即可解决. 【解析】由 得x3-3x+2=0，解得x=1或x=-2，切线与曲线还有另外一个公共点（-2，-8）.,【想一想】解答本题1的关键点与题2（2）的注意点是什么？ 提示：（1）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)即直线的斜率. （2）求曲线的切线时，首先要判断所给的点P是否在曲线上，然后要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者. 点（1，1）虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.解题时注意避免漏解.,求切点的坐标 【技法点拨】 求切点坐标的五个步骤 (1)先设切点坐标(x0,y0)； (2)求导函数f(x)； (3)求切线的斜率f(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.,【典例训练】 1.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0的坐标为( ) （A）（1，0） （B）（1，0）和（-1，-4） （C）（2，8） （D）（2，8）和（-1，-4） 2.已知抛物线y=2x2+1，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45? (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x-y-2=0?,【解析】1.选B.设切点为P0(a,b)， f(x)= k=f(a)=3a2+1=4,a=1. 把a=-1，代入到f(x)=x3+x-2得b=-4；把a=1，代入到f(x)= x3+x-2得b=0，所以P0点的坐标为(1,0)和(-1,-4).,2.设点的坐标为(x0,y0)，则 =4x+2x. f(x)= (4x+2x)=4x. f(x0)=4x0. (1)抛物线的切线的倾斜角为45， 斜率为tan451. 即f(x0)=4x0=1，得x0= ，该点为( ).,(2)抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0， 斜率为4. 即f(x0)=4x0=4，得x0=1，该点为(1,3).,【互动探究】题2的条件不变，则抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0? 【解析】抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直， 斜率为8. 即f(x0)=4x0=8，得x0=2， y0=222+1=9，该点为(2,9).,【想一想】通过题1、2的解答，思考求解切点坐标的关键是什么？解决这类问题的注意点是什么？ 提示：（1）解答此类题目的关键是所给的直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而可求出此点的横坐标. （2）解答过程中要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，两直线平行、垂直与斜率之间 的关系等.,【变式训练】曲线y=x3-3x上某点处的切线平行于x轴，求该点坐标. 【解析】设切点为(x,y)，则切线的斜率为,切线平行于x轴，k=0. 即3x2-3=0.解得x=1. 当x=1时，y=13-31=-2. 当x=-1时，y=(-1)3-3(-1)=2. 所求点为(1,-2)或(-1,2).,导数的几何意义的综合应用 【技法点拨】 导数几何意义的综合应用的解题方法 （1）导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点. （2）导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题.,【典例训练】 1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+ x-9都相切，则a等于( ) (A)-1或 (B)-1或 (C)- 或- (D)- 或7 2.已知f(x)=x2，g(x)=x3. （1）求f(x),g(x)，并判断f(x)和g(x)的奇偶性； （2）若对于所有的实数x，f(x)-2ag(x)恒成立，试求实数a的取值范围.,【解析】1.选A.先求y=x3的导数， y= 设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x30)，则切线方程为y-x03=3x02 (x-x0)，即y=3x02x-2x03. 点(1,0)在切线上，3x02-2x03=0， x0=0或x0= .,当x0=0时，由y=0与y=ax2+ x-9相切， 得a=- ； 当x0= 时，由y= x- 与y=ax2+ x-9相切，得a=-1. 2.(1)由导数的定义知，f(x)= =2x； g(x)= f(x)和g(x)的定义域为R，故定义域关于原点对称，,f(-x)=-2x=-f(x)，f(x)为奇函数. g(-x)=3(-x)2=3x2=g(x)，g(x)为偶函数. （2）由f(x)-20对任意实数x恒成立， 当a=0时，转化为-2x+20恒成立，即x0对所有实数x都成立得， 解得a . 综上，a .,【想一想】解答题1的注意点与题2（2）分类讨论的标准是什么？ 提示：(1)解答题1时要注意验证所求出的切线方程是否与第二条曲线相切. (2)本题分类的标准是不等式3ax2-2x+20的类型，因为该不等式是一次不等式还是二次不等式取决于a的值.,【变式训练】设a0，f(x)ax2+bx+c，曲线yf(x)在点 P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0， ，则点P 到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为( ) （A）0, （B）0, （C）0, （D）0, ,【解析】选B.依题设知点P的横坐标x0必须且只需要满足 0f(x0)tan 1， 因为f(x)2axb，所以02ax0b1， 因为抛物线yf(x)的对称轴为直线l：x- ， 所以点P到直线l的距离为d|x0+ |， 因为a0，所以d |2ax0b| ， 又d0，即得d的取值范围为0， .,【易错误区】求曲线的切线方程中的误区 【典例】经过点(2,0)且与曲线y= 相切的直线方程为_. 【解题指导】,【解析】可以验证点(2,0)不在曲线上， 设切点为P(x0,y0). 由y|x=x0= = 故所求直线方程为y-y0=- (x-x0). 由点(2,0)在所求的直线上，得x02y0=2-x0. 再由P(x0,y0)在曲线y= 上，得x0y0=1，,联立可解得x0=1,y0=1， 所以所求直线方程为x+y-2=0. 答案：x+y-2=0,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误 及解题启示总结如下：（注：此处的见解析过程）,【即时训练】已知曲线y= x2-2上一点P(1,- ), 则在点P处的切线的倾斜角为( ) (A)30 (B)45 (C)135 (D)165 【解析】选B. y= 切线的斜率为k=f(1)=1，倾斜角为45.,1.下列说法正确的是( ) (A)若f(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处就没有切线 (B)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处有切线，则f(x0)必存在 (C)若f(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率不存在 (D)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线,【解析】选C. 因为k=f(x0)，所以f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程却可能存在，其切线方程为x=x0.,2.已知曲线y=2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( ) （A）4 （B）16 （C）8 （D）2 【解析】选C.方法一：根据导数的几何意义知曲线在点A处的切线的斜率就是函数y=2x2在x=2处的导数值. k=f(2)= 方法二：f(x)= = (4x+2x)=4x， 则f(2)=8.,3.下列点中，在曲线y=x2上，且在该点处的切线倾斜角为 的是( ) （A）(0,0) （B）(2,4) （C）( ， ) （D）( ， ) 【解析】选D.k=f(x)= =2x. 倾斜角为 ，斜率为1.2x=1，即x= .,4.已知曲线y=3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为_. 【解析】 = =6x+3x, y|x=1= (6+3x)=6. 通过验证得点A（1，3）在曲线y=3x2上. 曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6. 所求的切线方程为y-3=6(x-1)，