2019年高考数学复习函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数学案文北师大版.docx

第四节二次函数与幂函数考纲传真1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题(对应学生用书第14页) 基础知识填充1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图像定义域R值域单调性在上是减少的，在上是增加的在上是增加的，在上是减少的对称性函数的图像关于x对称2. 幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图像与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图像定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)知识拓展1一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(3)ax2bxc0(a0)在区间a，b恒成立的充要条件是(4)ax2bxc0(a0)在区间a，b恒成立的充要条件是2幂函数yx(R)的图像特征(1)0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升(2)0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知幂函数f(x)x的图像过点(4,2)，若f(m)3，则实数m的值为()ABCD9D由题意可知4222，所以.所以f(x)x，故f(m)3m9.3已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是()A BCDC由题意知即得a.4(2017贵阳适应性考试(二)二次函数f(x)2x2bx3(bR)零点的个数是()A0B1 C2D4C因为判别式b2240，所以原二次函数有2个零点，故选C5若二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是_yx22x8设ya(x2)(x4)，对称轴为x1，当x1时，ymax9a9，a1，y(x2)(x4)x22x8.(对应学生用书第15页)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图像的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是8，即8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：变式训练1已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图像被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图像过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.二次函数的图像与性质角度1二次函数的最值问题(1)(2017广西一模)若xlog521，则函数f(x)4x2x13的最小值为()A4B3C1D0(2)(2017安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)x22ax1a在区间0,1上的最大值为2，则a的值为()A2B1或3C2或3D1或2(1)A(2)D(1)xlog521log52xlog5512x，令t2x，则有yt22t3(t1)24，当t1，即x0时，f(x)取得最小值4.故选A(2)函数f(x)(xa)2a2a1图像的对称轴为xa，且开口向下，分三种情况讨论如下：当a0时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是减少的，f(x)maxf(0)1a，由1a2，得a1.当0a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0，a上是增加的，在a,1上是减少的，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a或a.0a1，两个值都不满足，舍去当a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是增加的，f(x)maxf(1)12a1a2，a2.综上可知，a1或a2.角度2二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_. 【导学号：00090025】(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_(1)(2)(1)作出二次函数f(x)的图像，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.(2)由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2.因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.规律方法1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.幂函数的图像与性质(1)(2018兰州模拟)已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k等于()AB1 CD2(2)若(2m1)(m2m1)，则实数m的取值范围是()A BC(1,2)D(1)C(2)D(1)由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.(2)因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m；解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m的取值范围是m2.规律方法1.幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴变式训练2(1)设a0.5，b0.9，cl