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课堂达标(四十三) 椭圆A基础巩固练1(2018广东深圳4月调研)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,点P为椭圆上一点,且PF1F2的周长为12,那么C的方程为()A.y21B.1C.1 D.1解析由题设可得a2c,又椭圆的定义可得2a2c12ac6,即3c6c2,a4,所以b216412,则椭圆方程为1,应选答案D.答案D2(2018郑州第三次质检)椭圆1的左焦点为F,直线xa与椭圆相交于点M,N,当FMN的周长最大时,FMN的面积是()A. B.C. D.解析设椭圆右焦点为F,则|MF|NF|MN|,当M,N,F三点共线时,等号成立,所以FMN的周长|MF|NF|MN|MF|NF|MF|NF|4a4,此时|MN|,所以此时FMN的面积为S2,故选择C.答案C3(2018邯郸一模)椭圆1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF2的中点在y轴上,那么|PF2|是|PF1|的()A7倍B5倍 C4倍D3倍解析设线段PF2的中点为D,则|OD|PF1|,ODPF1,ODx轴,PF1x轴|PF1|.又|PF1|PF2|4,|PF2|4.|PF2|是|PF1|的7倍答案A4(2018青岛月考)已知A1,A2分别为椭圆C:1(ab0)的左,右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为,则椭圆C的离心率为()A.B. C.D.解析设P(x0,y0),则,化简得1,则,e,故选D.答案D5(2018广州二模)设F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,PF1F230,则椭圆的离心率为()A.B. C.D.解析如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为PF1F2的中位线所以OMPF2,所以PF2F1MOF190.因为PF1F230,所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|PF2|,由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|a,2c|F1F2|PF2|c,则e.故选A.答案A6(2018东北师大附中三模)已知F是椭圆C:1(ab0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆2y2相切于点Q,且PQ2QF,则椭圆C的离心率等于()A.B. C.D.解析设椭圆的左焦点为F1,连接F1,设圆心为C,则2y2,则圆心坐标为,半径为r,|F1F|3|FC|PQ2QF,PF1QC,|PF1|b|PF|2ab线段PF与圆1(ab0)(其中c2a2b2)相切于点Q,CQPF,PF1PF,b2(2ab)24c2,b2(2ab)24(a2b2)ab,则,e,故选A.答案A7(2018保定一模)与圆C1:(x3)2y21外切,且与圆C2:(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_解析设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|r1,|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|,即P在以C1(3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为1.答案18(2018北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(2,0),且长轴长与短轴长的比是2,则椭圆C的方程是_解析设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216,b212.所以椭圆C的方程为1.答案19(2018河北武邑中学二模)如图,已知椭圆C1:y21,曲线C2:yx21与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于A,B两点,直线MA,MB分别与C1相交于D,E两点,则的值是()A正数 B0C负数 D皆有可能解析设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,1),(x1,y11),(x2,y21)设直线l的方程为ykx与抛物线方程联立,整理为:x2kx10,所以x1x2k,x1x21,x1x2(y11)(y21)x1x2y1y2(y1y2)1x1x2k2x1x2k(x1x2)11k2k210,故选B.答案B10(2016北京卷)已知椭圆C:1过点A(2,0),B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值解(1)由题意得,a2,b1.所以椭圆C的方程为y21.又c,所以离心率e.(2)设P(x0,y0)(x00,y00),则x4y4.又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA的方程为y(x2)令x0,得yM,从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0,得xN,从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|2.从而四边形ABNM的面积为定值B能力提升练1(2018石家庄质检)已知两定点A(2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:yx3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为()A. B.C. D.解析设点A关于直线l的对称点为A1(x1,y1),则有解得x13,y11,易知|PA|PB|的最小值等于|A1B|,因此椭圆C的离心率e的最大值为.答案B22016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,给出下列式子:a1c1a2c2;a1c1a2c2;a1c2.其中正确式子的序号是()A BC D解析观察图形可知a1c1a2c2,即式不正确;a1c1a2c2|PF|,即式正确;由a1c1a2c20,c1c20,知,即a1c2,即式正确,式不正确故选D.答案D3(2018石家庄质检)椭圆y21的左,右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是_解析设椭圆上一点P的坐标为(x,y),则(x,y),(x,y)F1PF2为钝角,0,即x23y20,y21,代入得x2310,x22,x2.解得xb0)的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是_解析设椭圆的另一个焦点为F1(c,0),如图,连接QF1,QF,设QF与直线yx交于点M.由题意知M为线段QF的中点,且OMFQ.又O为线段F1F的中点,F1QOM,F1QQF,|F1Q|2|OM|.在RtMOF中,tanMOF,|OF|c,可解得|OM|,|MF|,故|QF|2|MF|,|QF1|2|OM|.由椭圆的定义得|QF|QF1|2a,整理得bc,ac,故e.答案5(2017天津)设椭圆1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y22px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程解(1)设F的坐标为(c,0)依题意,a,ac,解得a1,c,p2,于是b2a2c2.所以,椭圆的方程为x21,抛物线的方程为y24x.(2)设直线AP的方程为xmy1(m0),与直线l的方程x1联立,可得点P,故A.将xmy1与x21联立,消去x,整理得(3m24)y26my0,解得y0,或y.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x1)0,令y0,解得x,故D.所以|AD|1.又因为APD的面积为,故,整理得3m22|m|20,解得|m|,所以m.所以,直线AP的方程为3xy30,或3xy30.C尖子生专练(2016四川卷)已知椭圆E:1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2|PA|PB|,并求的值解(1)由已知,ab,则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23),由0,得b23,此时方程的解为x2,所以椭圆E的方程为1.点

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