2019届高考数学复习立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算学案.docx

8.6空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b知识拓展1向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点2向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间中任意一点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有0.()(6)若ab0，则a，b是钝角()题组二教材改编2P97A组T2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc答案A解析()c(ba)abc.3P98T3正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_答案解析|22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的长为.题组三易错自纠4在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行C异面 D相交但不垂直答案B解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又AB与CD没有公共点，ABCD.5与向量(3，4,5)共线的单位向量是_答案和解析因为与向量a共线的单位向量是，又因为向量(3，4,5)的模为5，所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是(3，4，5)(3，4,5)6O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且t，若P，A，B，C四点共面，则实数t_.答案解析P，A，B，C四点共面，t1，t.题型一空间向量的线性运算1.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用，表示，则_.答案解析()，().2.(2017上饶期中)如图，在三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则等于()A.(abc) B.(abc)C.(abc) D.(abc)答案B解析()()(abc)思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立题型二共线定理、共面定理的应用典例(2018唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量与向量，共面(2)当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当00，所以CBD为锐角同理BCD，BDC均为锐角10已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确的序号是_答案解析中，()222232，故正确；中，因为AB1A1C，故正确；中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中，|0，故也不正确11(2018遵义调研)已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|3|m|3，m1，c(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值解设a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60.(1)ca，a，(a)a2ac.(2)()()abc，所以2(abc)2(a2b2c22ab2ac2bc)，所以|，即EG的长为.(3)()bc，ba，|，|，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.13在空间四边形ABCD中，等于()A1 B0C1 D不确定答案B解析如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.14若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐标，已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A(4,0,3) B(3,1,3)C(1,2,3) D(2,1,3)答案B解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为x，y，z，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，p在a，b，c下的坐标为(4,2,3)，p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐标为(3,1,3)15(2018吉林模拟)已知四边形ABCD满足：0，0，0，0，则该四边形为()A平行四边形 B梯形C长方形 D空间四边形答案D解析由已知得0，0，0，0，由夹角的定义知B，C，D，A均为钝角，