浙江专版2019版高考数学一轮复习第五章平面向量学案.docx

第五章 平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的 单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)() a；() aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.小题体验1下列四个命题中，正确的命题是()A若ab，则abB若|a|b|，则abC若|a|b|，则ab D若ab，则|a|b|答案：D2若mn，nk，则向量m与向量k()A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线答案：D3若D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC D答案：A4已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.答案：1在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个3要注意向量共线与三点共线的区别与联系小题纠偏1若菱形ABCD的边长为2，则|_.解析：|2.答案：22已知a，b是非零向量，命题p：ab，命题q：|ab|a|b|，则p是q的_条件解析：若ab，则|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq.若|ab|a|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即ab，且0，故q/ p.p是q的充分不必要条件答案：充分不必要 题组练透1设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.2下列说法中错误的是()A有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确3(易错题)给出下列命题：若ab，bc，则ac；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是_解析：正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.答案：谨记通法向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度(2)非零共线向量：方向相同或相反(3)单位向量：长度是一个单位长度(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等相量：方向相同且长度相等如“题组练透”第3题易混淆有关概念题组练透1(2018武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于()A B2C3 D4解析：选D因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以2，2，所以4.2(2018温州模拟)在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A. BC. D.解析：选B因为2，所以2.又M是BC的中点，所以()().3设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12 (1，2为实数)，则12的值为_解析：()，所以1，2，即12.答案：谨记通法1平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求典例引领1在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是( )A.B.C. D.解析：选D设y，yy()y(1y) ，3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，x.2设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb同向解：(1)证明：ab，2a8b，3a3b，2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb同向，存在实数(0)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，解得或又0，k1.由题悟法共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点即时应用1已知向量e1与e2不共线，且向量e1me2，ne1e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1解析：选A因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数，使得，所以有e1me2ne1e2，由此可得所以mn1.2如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若，则()A1B2C4 D6解析：选B根据向量加法的运算法则可知，2，故2.2在ABC中，2，a，b，c，则下列等式成立的是()Ac2ba Bc2abCcab Dcba解析：选D依题意得2()，即ba.3在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对解析：选C由已知，得8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形4(2018扬州模拟)在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，若m，则实数m的值是_解析：如图，因为，P是上一点所以，mm，因为B，P，N三点共线，所以m1，则m.答案：5已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_.(用a，b表示)解析：如图，ba，ab.答案：baab二保高考，全练题型做到高考达标1已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是( )AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：选A3a6b3.因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线2已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1 BC1或 D1或解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abk.整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，故.3.如图，已知|1，与的夹角为120，与的夹角为30，若 (，R)，则等于()A. BC. D2解析：选D过C作OB的平行线交OA的延长线于点D.由题意可知，COD30，OCD90，OD2CD，又，|2|，即2，故2.4(2018遂昌期初)已知a，b是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a，tb，(ab)三向量的终点在同一直线上，则实数t的值为()A2B1C. D.解析：选D由题可设(ab)atb，因为a，tb，(ab)三向量的终点在同一直线上，所以有1.所以，所以t，解得t.5设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A3 B4C5 D6解析：选BD为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点，又D为AB中点，SAOCSADCSABC，则4.6在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3，得(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab7设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.解析：由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.答案：28已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；baabba0，故正确正确命题为.答案：39设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知2 e18 e 2，e 13 e 2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3 e 1k e 2，且B，D，F三点共线，求k的值解：(1)证明：由已知得(2 e 1e 2)(e 13 e 2)e 14 e 2，2 e 18 e 2，2.又与有公共点B，A，B，D三点共线(2)由(1)可知e 14 e 2，3 e 1k e 2，且B，D，F三点共线， (R)，即3 e 1k e 2e 14e 2，得解得k12.10已知P为ABC内一点，且34 50，延长AP交BC于点D，若a，b，用a，b表示向量，.解：a，b，又3450，34(a)5(b)0，ab.设t (tR)，则tatb.又设k (kR)，由ba，得k(ba)而a.ak(ba)(1k)akb.由得解得t.代入得ab.ab，ab.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于点F，设a，b，xayb，则(x，y)为( )A. BC. D.解析：选C令 ，则(1)；令，则(1).由对应系数相等可得解得所以.故选C.2在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_解析：由题意可求得AD1，CD，所以2.点E在线段CD上， (01)，又2，1，即.01，0.即的取值范围是.答案：3已知O，A，B是不共线的三点，且mn (m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明：(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.第二节平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1 e 12 e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.小题体验1已知a(4,2)，b(6，m)，若ab，则m的值为_答案：32(教材习题改编)已知a(2,1)，b(3,4)，则3a4b_.答案：(6,19)3设e 1，e 2是平面内一组基向量，且ae 12 e 2，be 1e 2，则向量e 1e 2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e 1e 2_a_b.解析：由题意，设e 1e 2m anB因为ae 12 e 2，be 1e 2，所以e 1e 2m(e 12 e 2)n(e 1e)(mn) e 1(2mn) e 2.由平面向量基本定理，得所以答案：4已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.答案：11向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.小题纠偏1设e 1，e 2是平面内一组基底，若1 e 12 e 20，则12_.答案：02已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：3题组练透1.如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若a，b，则()A.abB.abC.ab D.ab解析：选D在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，.O是BE边的中点，()ab.2在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析：2，.，()，().又xy，x，y.答案：3(易错题)如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.解：ab，ab，ab.ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.谨记通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第3题题组练透1向量a，b满足ab(1,5)，ab(5，3)，则b为()A(3,4)B(3,4)C(3，4) D(3，4)解析：选A由ab(1,5)，ab(5，3)，得2b(1,5)(5，3)(6,8)，b(6,8)(3,4)，故选A.2已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析：选A3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，所以即3已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)谨记通法平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解典例引领1已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)答案：(2,4)2已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.由题悟法向量共线的充要条件(1)abab(b0)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便即时应用1(2018丽水质检)已知a(1，2)，b(x,1)，若(ab)b，则实数x的值为()AB.C2 D2解析：选A因为a(1，2)，b(x,1)，所以ab(x1，1)因为(ab)b，所以x1(x)2x10，解得x.2(2018贵阳监测)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则_.解析：因为mn(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，所以(23)(1)3(1)，解得0.答案：03设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_解析：a与b方向相反，可设ab(0)，a(2,1)(2，)由|a|2，解得2或2(舍去)，故a(4，2)答案：(4，2)4若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值等于_解析：(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4)B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析：选B由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)2已知A(1，1)，B(m，m2)，C(2,5)三点共线，则m的值为()A1 B2C3 D4解析：选A(m，m2)(1，1)(m1，m3)，(2,5)(1，1)(3,6)，A，B，C三点共线，3(m3)6(m1)0，m1.故选A.3.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y解析：选A由题意知，又2，所以()，所以x，y.4(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案：5已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_解析：因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018温州十校联考)已知a(3,1)，b(1,2)，则3a2b()A(7,1) B(7，1)C(7,1) D(7，1)解析：选B由题可得，3a2b3(3,1)2(1,2)(92，34)(7，1)2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m(bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A的值等于()A. BC. D.解析：选C由mn，得(bc)cos Aacos C0，再由正弦定理得 sin Bcos Asin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A.3已知A(7,1)，B(1,4)，直线yax与线段AB交于点C，且2，则实数a等于( )A2 B1C. D.解析：选A设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又点C在直线yax上，3a3，a2.4已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若 (R)，且点P在直线x2y0上，则的值为()A. BC. D解析：选B设P(x，y)，则由，得(x2，y3)(2,2)(5,7)(25，27)，x54，y75.又点P在直线x2y0上，故542(75)0，解得.故选B.5在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab BabC.ab D.ab解析：选C如图，a，b，ab.E是OD的中点，|DF|AB|.()ab，ababab，故选C.6已知向量a(1,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量c与向量kab共线，则实数k_，若cxayb，则xy的值为_解析：kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1)，因为向量c与向量kab共线，所以2(k2)3(3k1)0，解得k1.因为cxayb，所以(3,2)(x2y,3xy)，即x2y3,3xy2，解得x1，y1，所以xy0.答案：107已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：k18.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_解析：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则可知A(1，0)，B，设C(cos ，sin )，则有xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，所以当时，xy取得最大值2.答案：29平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.解：(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.10如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量，.解：babba，bba，bab.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线设x，y，则_.解析：点P，G，Q在一条直线上， .()(1)(1)xy，又G是OAB的重心，().而，不共线，由，得解得3.答案：32设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：选D根据已知得(c,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(c,0)(1,0)，从而得c.(d,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(d,0)(1,0)，得d.根据2，得2.线段AB的方程是y0，x0,1若C是线段AB的中点，则c，代入2得，0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0 c1,01，d1，则2，与2矛盾，若c 0，d1，d0，则1，0，此时0，b0.(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求ab的最小值解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以，即(a,0)(2,2b)，解得故a2，b2.(2)因为(a，b)，(2,2b)，由A，B，C三点共线，得，所以a (2b)2 b0，即2(ab)a b，因为a0，b 0，所以2(ab)a b2，即(ab)28(ab)0，解得ab8或ab0.因为a0，b 0，所以ab8，即ab的最小值是8.当且仅当ab4时，“”成立第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a| b | cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a| cos 叫做向量a在b方向上的投影，| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影| b | cos 的乘积3向量数量积的运算律(1)abb a.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)ca cb c.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab |与|a| b |的关系|ab |a| b |x1x2y1y2|小题体验1已知|a|2，|b|6，ab6，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案：D2已知|a|5，|b|4，a与b的夹角为120，则ab_.答案：103(2016山东高考)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(tab)，则实数t的值为_解析：a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又a(tab)，则a(tab)0，即t6t40，解得t5.答案：54已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0，得bta(1t)b0，即t ab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案：25已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析：选向量的基底为，则，所以()2.答案：21数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量2两个向量的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之不成立3ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.4在用|a|求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方小题纠偏1若a，b是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：ab0；abab；|ab|ab|；a2b2(ab)2.其中正确的个数是()A1B2C3 D4解析：选C因为a，b是两个互相垂直的非零向量，所以ab0；所以(ab)2a2b22aba2b2；(ab)2a2b22aba2b2；所以(ab)2(ab)2，即|ab|ab|.故是正确的，是错误的2(2016北京高考)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_解析：由题意得|a|2，|b|2，ab112.设a与b的夹角为，则cos .0，.答案：题组练透1设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c()A(15,12)B0C3 D11解析：选Ca2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)3.2(2015山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a2解析：选D由已知条件得aacos 30a2，故选D.3已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_；(2ab)(ab)_.解析：因为a(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210.(2ab)(ab)2a2abb280101080.答案：10804.如图，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC2，D为BC的中点，则_.解析：法一：由题意知，ACBC2，AB2，()|cos 45|cos 4522216.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(2,0)，D(1,0)，(2,0)(0,2)(2，2)，(1,0)(0,2)(1，2)，2(1)(2)(2)6.答案：6谨记通法向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a| b | cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题锁定考向平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直；(4)与最值、范围有关问题 题点全练角度一：平面向量的模1已知e 1，e2是单位向量，且e1e2.若向量b满足be1be21，则|b|_.解析：法一：e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由be11，得|b|e1|cos 301，|b|.法二：由题可得，不妨设e1(1,0)，e2，b(x，y)因为be1be21，所以x1，xy1，解得y.所以b，所以|b| .答案：角度二：平面向量的夹角2(2018山西四校联考)已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为()A.B.C. D.解析：选Ba(ab)，a(ab)a2ab1cosa，b0，cosa，b，a，b.3已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bk e 1e 2，若ab0，则实数k的值为_解析：e1，e2的模为1，且其夹角.ab(e12e2)(ke1e2)kee1e22ke1e22ek(12k)cos22k.又ab0，2k0，即k.答案：角度三：平面向量的垂直4(2016山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(t mn)，则实数t的值为()A4 B4C. D解析：选Bn(t mn)，n(t mn)0，即t mn| n |20，t|m| n |cosm，n| n |20.又4|m|3| n |，t|n|2| n |20，解得t4.故选B.5已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解：(1)