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9.6 偏导数在最值问题上的应用（二）,1) 建立函数关系,2) 确定函数在实际中的定义域,3) 求函数的偏导数,4) 求出驻点,5) 判断驻点的唯一性,得出结论,基本步骤,例1,要制造一个无盖的长方体水槽,已知其设计总造价为216元,底部造价为18元/平方米,侧面造价为6元/平方米.问应选取怎样的尺寸,才能使水槽的容积最大?,设其容积为V,解1:,条件极值,函数的自变量除限制在定义域内以外,还受其它条件的制约的极值(最值)问题.,目标函数,约束条件,解法1:,解法2:,化为无条件极值问题来求解,拉格郎日乘数法,拉格郎日乘数法,-拉格郎日函数,(1).构造辅助函数,设 在定义域内均有连续的一阶偏导数,且 不同时为零.,拉格郎日乘数法,(2).求,(3).求出的驻点为可能的极值点,(4).若求出的驻点在定义域内唯一,结合实际问题,可得到该驻点就为所求的极值点或最值点.,说明:,1).拉格郎日乘数法可推广到目标函数为多元函数以及有有限个约束条件的情形中;,2).在求驻点时,常常采用比值法,即先通过移项相比寻找自变量之间的关系,再代入约束条件方程来求解.,3).拉格郎日乘数法对一元函数的条件极值问题也成立.,例1 解法2:,例2:,求内接于半径为R的圆的矩形的最大面积?,设矩形长为2x0,高为2h0,则面积为S = 4xh,且,江河中游泳竞赛策略问题,例3:,设游泳者速度保持u=1.5s/m不变,试求游泳者从起点O到终点D的最短游泳时间和路线?,在每段上u与vi为常数,游泳总时间T与方向角i的函数关系,i满足L1+L2+L3=L,在每段上将u沿水平方向和垂直方向进行分解,条件极值,将数据Hi、vi、L代入，运用拉格郎日乘数法求解,Maple数学软件,若水流速度为分段连续函数时,思考：,第2段上的游泳路线及所用时间Ti与水
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