高等数学函数的极限.ppt

,第一章,二、自变量趋于有限值时函数的极限,第四节,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,定义1 . 设函数,充分大时有定义,在,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线 .,A 为函数,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,的过程中，,对应的函数值,无限接近于一个数值 A，,两种特殊情况 :,设函数,充分大时,在,则称常数,时的极限,记作,A 为函数,的过程中，,对应的函数值,无限接近于一个确定的数值 A，,当,有定义,或,如果函数,当x 在上述变化过程中没有极限，,的,不能无限接近于数值 A，,即对应,就说函数,在该变化,过程中极限不存在。,当,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,一般地,若,则直线y=A为函数y=f (x)的,图形的水平渐近线.,例如，,不存在.,根据定义，,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,记作,对应的函数值,无限接近于某一确定数值 A，,且当 x 无限接近,时，即,时，,极限存在,函数局部有界,(P22定理1),这表明:,几何解释:,2. 左极限与右极限,则称常数 A 为函数,当,时的右 极限,记作,对应的函数值,无限接近于某一数值 A，,时，即,时,（左）,（小于）,且当 x 大于 而无限接近,（左）,或,左极限与右极限统称为单侧极限 .,定理 1 .,(充要条件),例1. 给定函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 1 .,因为,显然,所以,不存在 .,存在 那么这极限唯一.,二、函数极限的性质,定理1 (函数极限的唯一性),如果极限,定理2 (函数极限的局部有界性),若,则函数 f (x) 在,的某一去心邻域(|x|充分大)有界.,有,当,时, 有,即,定理3. (函数极限的局部保号性),若,且 A 0 ,则存在,( A 0 ),推论 . 若在,的某去心邻域内,且,则,定理3,若,且 A 0 ,则当|x|充分大时，,( A 0 ),就有,推论 ., 且,则,如果当|x|充分大时，,定理4.（海涅定理：函数极限与数列极限的关系）,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例2. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,内容小结,1. 函数极限的六种定义,2. 函数极限的性质:,局部保号性,与左右极限等价定理,作业 P24 3,Th1,Th3,Th2,第四节,唯一性定理,局部有界性,定义1 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线 .,A 为函数,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,例1. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,只要,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,若,记作,即,当,时, 有,函数极限的演示,d,d,目的：对任意的e0, 要找d0，使得 0|x-x0|d 时，有 |f(x)-A|e. 即 A-e f(x) A+e.,哈哈, d 找到了!,d,d,d 符合要求!这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个,例2. 证明,证:,欲使,取,则当,时, 必有,因此,只要,例3. 证明,证:,故,取,当,时, 必有,因此,证明,的方法：,（1）,取,