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1,一、单调性的判别法,三、小结及作业,2,一、单调性的判别法,定理,3,证,应用拉氏定理,得,4,5,例2,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,6,（2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能是的 点及导数不存在的点,7,（3）讨论函数单调性的步骤： ） 1）确定函数的定义域； 2）求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点； 3）这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论。,4）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,8,例3. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,9,例4,解,单调区间为,10,例5,证,11,证明：,因此，,单调减少,f(x) 单调减少,也就是,12,13,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,14,1. 曲线的凹凸与拐点的定义,定义 1. 设函数,在区间 上连续 ,(1) 若恒有,则称 的图形,是凹的;,(2) 若恒有,则称 的图形,函数图形上凹凸的分界点称为拐点 .,是凸的 .,15,2、曲线凹凸的判定,定理1,16,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,17,例1.判断曲线,的凹凸性.,解:,时,故曲线,在,上是向上凹的.,说明,(1) 在个别二阶导数为 0 的点, 若此点两侧二阶导数不变号, 则不改变曲线的凹凸性 .,18,例2,解,注意到,19,例3.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,20,（3）判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤： （a）求出 ； （b）求出使 的点及 不存在的点； （c）检查在这些点左右两边的符号，从而决定曲线 的凹凸区间及拐点。,21,例4.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,故该曲线在,上凸,22,证明：,23,24,三、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,曲线的弯曲方向凹凸性;,凹凸性的判定.,改变弯曲方向的点拐点;,拐点的求法1, 2.,25,26,思考题,27,思考题解答,例,28,练 习 题,29,30,练习题答案,31,32,思考题,33,思考题解答,不能断定.,例,但,34,当 时，,
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