函数的极值与最值(8).ppt

第四讲 函数的极值与最值,内容提要 1.掌握求函数的极大值和极小值方法； 2.掌握求函数的最大值和最小值方法。 教学要求 掌握求函数的最大值和最小值方法并会熟练解较简单的最大值和最小值的应用问题。,一、极值的定义与必要条件,同样地,定义1,则称,则称,使函数取得极值的点称为,为了描述这种点的性质,引进函数极值的概念.,从图上还可以看出，,函数在极值点处，,曲线上的切线是水平的，,一般地，有下面的定理.,定理1,注意：,定理1的逆定理不成立.,例如,证明,则,说明：,对于连续函数,导数不存在的点也可能是函数,例如，,函数在定义域中的驻点及不可导点统称为,极值可疑点.,指出：,连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值.,练习,求下列函数的极值可疑点：,的极值点.,二、极值的充分条件,由单调性与导数符号的关系，可得下面的定理.,如图所示：,定理2(第一充分条件),符号相同,求极值的步骤:,是极大值还是极小值.,例6,解,列表讨论,极大值,极小值,解,列表讨论,不存在,例8,解,故,定理3(第二充分条件),注意：,解,此时，不能用第二充分条件.,仍用第一充分条件判定：,三、函数的最大值和最小值,1、闭区间上连续 函数的最大值和最小值的求法,由闭区间上连续函数的性质可知：,必能取得最大,最大值和最小值统称为最值.,值和最小值.,处取得最大值,由(1) (2)可知：,只要算出极值可疑点及端点处的函数值，,比较这些值的大小，即可求出函数的最值.,（最小值).,解,解,2. 实际问题的最值,解,则,指出：,就可以断定目标函数在某个开区间内必有最,即可判定在该点处目标函数一定,在很多实际问题中，,根据问题的性质，,往往,大值或最小值.,若目标函数是可导函数，,且在该区间内只有一,个驻点，,此时，,取得最大值或最小值.,例4,解,表面积最小，,例5,解,此时，容器中水的体积为,例6,解,课堂练习,1.某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每套每月180元时，公寓会全部租出去当租金每套每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为每套每月多少元可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,故每月每套租金为350元时收入最高.,2.,问如何安装，,如图，,做成一个横,截面为,水槽的横截面面积最大 .,解,如图,时),水槽的横截面面积最大 ?,用三块长度一样，,等腰梯形的水槽,3.,敌人乘汽车从河的北岸A处以2千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为1千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,解,敌我相距函数,得唯一驻点,4.,解,如图,解得,解,5.,横截面为矩形的梁，它的强度与矩形的宽及高的平方的乘积成正比（设比例系数为 ），,现要把直,径为 的圆柱形木材（如图）,的梁，,若要使梁有最大的强度，,比是多少？,加工成横截面为矩形,问矩形的高与宽之,小结:,极值是函数的局部性概念:,驻点和不可导点统称为极值可疑点.,函数的极值必在极值可疑点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,极大值可能小于极小值.,如图所示:,第一充分条件