应用随机过程第三章习题解

第三章习题解 3.1乘客按照更新流 S1,S2,. 到达长途汽车站, 假设每次到达一人. 只要凑够 45 人就发一辆车, 将乘客全部运走. 计算每个乘客的平均候车时 间. 解解解: 记平均更新间隔为 , 根据题意可得总的候车时间为 45 j=1 (S45 Sj), 那么每个乘客的候车时间就是 E 45 j=1 (S45 Sj)/45 = 22, 其中 E(Sj) = j,j = 1,2,.,45. 3.2设更新过程 N(t) 的更新间隔有离散分布 P(Xn= 1) = P(Xn= 2) = 0.5, 对于 k = 1,2,3, 计算 pj= P(N(k) = j). 解解解：因为 pj= P(N(k) = j) = P(Sj k 1) = 0.5, p1= P(S1 1 2) = P(X1= 1,X2= 2) + P(X1= 2,X2= 1) + P(X1= 2,X2= 2) = 0.75. p2= P(S2 2 3) = P(X1= 2,X2= 2) = 0.25. p2= P(S2 3 3) = 0.625. p3= P(S3 3 0, 是否能找到 来自总体 T 的随机变量 Ti, 使得将 N(t) 的第 i 个更新间隔扩大 Ti后, 得到强度为 的泊松过程. 解解解: 可以找到。 因为只要找到 Ti, 使得 TiXi 服从 () 即可. 设 Ti的密度函数为 g(t), g(t) = f(x,tx)|x|dx 3 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 其中 f(t,tx) 是 Xi与 TiXi的联合密度函数, 当 Xi与 TiXi独立时，有 g(t) = exptxf(x)|x|dx 所以这样的 Ti是存在的. 3.6如果 p = P(X = ) 0, 则称 X 是广义的随机变量. 设 X 是广 义随机变量, 当更新过程 N(t) 的更新间隔 Xn是来自总体 X 的随机变 量时, 用 lim t N(t) 表示 0,) 中的更新次数. 计算 的概率分布和数学期望. 解解解: 因为 p = P(X = ) 0, 所以 P(X t) = 0jt Pr( k i=1 Xi= j,Xk+1 t j) (a) 当 X 服从 B(5,p) 时， 0jt P( k i=1 Xi= j,Xk+1 t j) = 0jt (5k j ) pjq5kjP(X1 t j). (b) 当 X 服从 P() 时, 0jt P( k i=1 Xi= j,Xk+1 t j) = 0jt (k)jexp(k)P(X1 t j)/j! 3.9设更新过程 N(t) 的更新间隔是 Xn,i1,i2,.,in是 1,2,.,n 的一 个全排列. 对于 n 2, 证明 (a) 在条件 N(t) = n 下，(X1,X2,.,Xn) 和 (Xi1,Xi2,.,Xin) 同分布; (b)E(X1+ X2+ + XN(t)|N(t) = n) = nE(X1|N(t) = n); (c)E( (X1+X2+XN(t) N(t) |N(t) 0) = E(X1|X1 0 = X1 0) = E(E(X1 + X2+ + XN(t) N(t) |N(t) = n,X1 0) = E(X1|X1 0.95 可解得:n 3 3.12已知甲虫横穿公路需要 3 分钟，汽车流构成更新流，平均 5 分钟 一辆通过该公路。忽略汽车的长度。 (a) 更新间隔服从指数分布时，计算甲虫被撞的概率； (b) 更新间隔服从均匀分布时，计算甲虫被撞的概率； (c) 更新间隔是常数时，计算甲虫被撞的概率； 解解解: 汽车每次通过为一次更新。假设更新的时间间隔为 Xi,EXi= 5, 因 为甲虫横穿公路需要 3 分钟，所以 t 时甲虫被撞相当于汽车通过的剩余时 间 R(t) 3. (a) 因为 Xi服从 Exp(), 而 EXi= 5，故 = 1/5. P(R(t) 3) = 1 e5= 1 e53= 0.4512 (b) 因为 Xi服从 U(0,10),F(x) = x 10 P(R(t) 3) = 1 5 3 0 (1 x 10)dx = 0.51 (c) 因为 Xi= c,c 为常数，故 P(R(t) 3) = 3 5 = 0.6 3.13更新过程的更新间隔服从 (k,) 分布，密度函数是 f(t) = ktk1 (k 1)!e t 7 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 对于充分大的 t, 估算剩余寿命的密度. 解: 根据定理 5.1 易知,limtP(R(t) y) = 1 y 0 F(s)ds, 其中 = EX1,F(s) = P(X1 s). 对上式两边同时对 y 求导可得密度函数为 1 F(y). 所以 limtfR(t)(y) = k y ktk1 (k 1)!e tdt = k! y essk1ds(令 s = t) 3.14假设所用的手机失手落地 N 次后就更换新手机. 设手机落地的事 件按强度为 的泊松流发生. (a) 当 N = 9 时, 计算手机更新间隔的分布和数学期望, 并对手机的剩余 寿命证明 limtER(t) = 5/; (b) 当 N 服从参数为 p 的几何分布时, 计算手机更新间隔的分布和数学 期望, 给出剩余寿命 R(t) 的分布. 解:(a) 因为手机落地事件按强度为 的泊松流发生，所以两次落地事 件发生的时间间隔 X 服从参数为 的指数分布. 于是可知手机更新间 隔 Y = 9 i=1Xi, 其中 Xi iid (). 由指数分布的可加性可知 Y (9,), 且易知 EY = 9/. 由定理 5.1 可知, limtER(t) = EY 2 2EY = 9 2 + 81 2 2 9 = 9 (b) 由题意可知 Y = N i=1Xi, 其中 P(N = k) = q k1p, k=1,2,.所以 Y 的分布函数为 P(Y y) = k=1 P(Y t|N = k)P(N = k) = k=1 P( k i=1 Xi t) qk1p = k=1 y 0 ktk1 (k 1)!e tqk1pdt 8 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 又因为 k=1 ktk1 (k 1)!q k1 = k=1 (tq)k1 (k 1)! = etq 故 P(Y y) = y 0 tq etpdt = y 0 peptdt 综上所述, 更新间隔 Y 是服从参数为 p 的指数分布,EY = 1/p. 再根据泊 松过程的性质可知, 剩余寿命 R(t) 也是服从参数为 p 的指数分布. 3.15对于更新过程的年龄 A(t) 和剩余寿命 R(t), 计算 P(R(t) x|A(t) = s),P(R(t) 2x|A(t + x) = s). 解解解： P(R(t) x|A(t) = s,N(t) = n) = P(Sn+1 t x|t Sn= s,Sn+1 t) = P(Sn+1 t x,t Sn= s,Sn+1 t) P(t Sn= s,Sn+1= s,Sn+1 t) = P(Xn+1 x + s) P(Xn+1 s) = F(t + s) F(s) . 3.16在有偿更新过程中，当 N(t) 的更新间隔不是格点随机变量，且 数学期望有限时，以下结论是否成立？ lim t E在t,t + s)中的收益 = sE一个更新间隔中的收益 更新间隔的平均长度 . 解解解：题中结论可以表示为 lim t EM(t + s) M(t) = s EY EX , 9 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 其中 EY EX 为每个更新间隔的平均费用. 该结论在 EY 存在时均成立，下 面证明. 因因因为更新过程 N(t) 由更新间隔 Xj决定，与 Yi独立，所以利用瓦尔德 定理（定理 2.1）得到 EM(t) = E( N(t) j=1 Yj) = EN(t)E, 两边除以 t 后，由定理 2.2 得到结论 lim t EM(t) t = lim t EN(t) t EY = EY EX , 从而可以得到 lim t EM(t + s) M(t) = lim t EN(t + s)EY ENEY = lim tm(t + s) m(t)EY = s EX EY = sEX EY , 其中 m(t) = EN(t) 是更新函数，最后一步用到定理 2.3（1）. 3.17对于更新过程的年龄 A(t) 和剩余寿命 R(t) 和 XN(t)+1= A(t) + R(t), 计算 (a) lim t t 0 A(s)ds t ; (b) lim t t 0 R(s)ds t ; (c) lim t t 0 XN(t)+1ds t . 解解解： (a) 设在 t 处收益 A(t), 则更新间隔 Xi内收益为 i= Xi 0 tdt = 0.5X2 i, 10 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 单位时间内平均收益为 lim t t 0 A(s)ds t = EY EX = EX2 2 . (b) 用（a）的方法，同理可得 lim t t 0 R(s)ds t = EX2 2 . (c) lim t t 0 XN(t)+1ds t = lim t t 0 A(s)ds t + lim t t 0 R(s)ds t = EX2 2 + EX2 2 = EX2 . 3.18自行车的使用寿命由分布函数 F(t), 当自行车摔坏或者使用了三 年就换新车. 假设一辆旧车可以卖 80 元，摔坏的车只能卖 10 元，购买一 辆新车用 元. 计算自行车每年的平均费用. 解解解：一辆自行车实际使用时间为 xn= min(3,tn), 在 tn时刻的费用为 Yn= 80,tn 3, 10,tn x)dx = 0 P(3 x,t x)dx = 3 0 P(t x)dx = 3 0 F(x)dx. 因为 M(t) = j=1 N(t)Yj 所以， EM(t) t = EY1 EX1 = 70F(3) + E 80 3 0 F(x)dx . 3.19乘客按照平均更新间隔为 分钟的更新流到达渡口，每次到达一 位乘客. 当有 N 个人候船时就开出一艘船, 假设每开出一船渡口有收益 m 元, 有 n 个人在渡口候船时, 每分钟还有收益 nc 元. 计算该渡口每分钟的 平均收益. 解解解: 定义一艘船离开渡口为一次循环，得到一个有酬更新过程。一个有 酬更新过程的时间为等待 N 个乘客到达的时间 N。所以 E( 一次循环的收益)= E(cX1+ 2cX2+ + (N 1)cXN1) + m = N(N 1) 2 c + m, 因此每分钟平均收益为：N(N1) 2 c + m N. 3.20出租车加满油后可以运营 X 小时，然后再加满油，再运营. 如果 每次加油的费用是 Y 元, 计算每小时的平均油费. 解解解: 设加一次油完成一次更新, 且 t 时刻内加油次数为 N(t). 即 E( N(t) i=1 Yi t ) 12 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 为所求. 由瓦尔德定理知： E( N(t) i=1 Yi t ) = EN(t)EY t = m(t)EY t 其中 m(t) 为更新函数. 由基本更新定理有: lim t m(t) t = 1 EX 所以当 t 充分大时，E( N(t) i=1 Yi t ) = EY EX. 3.21乘客按照每分钟 个人的泊松流到达渡口，每次到达一位乘客。 有 n 个人在渡口侯船时，每分钟渡口有收益 nc 元。现在渡口每 T 分钟发 一艘船。计算该渡口在单位时间内的平均收益。 解：设乘客到达渡口的泊松流为 Sj,j = 1,2, 对应泊松过程 N(t) 则发船时渡口在 T 时间段内的获利为： Y = c N(T) i=1 (SN(T) Si) 则由 E(Sj| N(T) = n) = jT/(n + 1) 知： 渡口每分钟的平均收益为： EY/T = (1/T)(E(E(Y | N(T) = n) = cE(n(n 1)/2(n + 1) 此处，n Piosson(T) 3.22产品在生产线上依次经过 12 道工序，第 i 道工序的加工时间是 来自总体 Ti的随机变量。每道工序需要加工的时间是相互独立的。对于充 分大的 t, 计算 t 时一件产品正处于第 i 道工序的概率。 解：这是一个拥有 12 个工作状态的系统，每一道工序就是一个状态。 总体是 X = (T1,T2, ,T12) 更新间隔是 Xi,Xi= Ti1+ Ti2+ + Ti12,i = 1,2, 对应的更新过程 N(t), 即 N(t) 为拥有 12 个工作状态的更新过程。 lim t P处于第 i 道工序 = ETi/(ET1+ ET2+ + ET12) 3.23试验结果 A 出现的概率是 0.5，在独立重复试验中，计算 (a) 等待结果 AAAA 出现的平均试验次数； (b) 计算 AA 和 AAAA 中，谁出现的频率更高. 解: 记 Yi表示每次试验的结果，可知 Yi 为 i.i.d, 且 P(Yi= A) = 0.5,P(Xi= A) = 0.5. 13 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 设 N(n) 表示前 n 次试验中的更新次数，设 t 表示 t 的整数部分， 则 N(n) = N(t),t 0 是一个延迟更新过程. 设更新在 t = n 处发生的充 要条件为 P(Yn3,Yn2,Yn1,Yn) = P(A,A, A,A) P(n 处有更新)=P(Yn3,Yn2,Yn1,Yn)=P(A,A,A,A)=0.55, n 4 P(n 处无更新)=1-0.54,n 4 更新间隔 X1,X2为周期为 1 的格点随机变量，由定理 7.2(6) 可知 P(n 处有更新)=P(ND(n 1,n = 1) =END(n) ND(n 1) =mD(n) mD(n 1) 1 EX2 (a) 平均等待时间 EX2=0.54 (b) 事件 AA 出现的概率为 lim t ND(t)/t=0.52 事件 AAAA 出现的概率为 lim t ND(t)/t=0.54 3.24一个系统由 n 个相互独