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解高阶方程的降阶法,y(n) = f (x) 型 y“ = f (x, y) 型 y“ = f (y, y) 型,解法：,特点：,1. y(n) = f (x) 型,例1,解,解法：,特点：,2. y“ = f (x,y) 型,注: y (n)= f (x, y (k), y (n-1) 型,例2,解,若得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,3. y“ = f (y,y) 型,则,解,原方程化为,原方程通解为,例3,（可分离变量，齐次线性）,解,原方程降阶为,例4,例4,另解,原方程降阶为,小结,高阶微分方程的基本解法,1、 y(n) = f (x) 型：,2、 y“ = f (x,y) 型：,因变量换元；,3、 y“ = f (y,y) 型：,通过代换降低阶数。,因变量及自变量换元。,连续积分n次；,思考题,思考题解答,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,练 习 题,练习题答案,
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