2019版高考数学复习数列学案理.docx

第八单元 数 列教材复习课“数列”相关基础知识一课过数列的有关概念过双基1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an1数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21的值为()A5B.C. D.解析：选Banan1，a22，anS2111102.2数列an满足a13，an1(nN*)，则a2 018()A. B3C D.解析：选D由a13，an1，得a2，a3，a43，由上可得，数列an是以3为周期的周期数列，故a2 018a67232a2.3已知数列an满足an(nN*)，前n项的和为Sn，则关于an，Sn的叙述正确的是()Aan，Sn都有最小值 Ban，Sn都没有最小值Can，Sn都有最大值 Dan，Sn都没有最大值解析：选Aan，当n5时，an0，且单调递减故当n5时，a53为an的最小值；由的分析可知：当n5时，an0.故可得S5为Sn的最小值综上可知，an，Sn都有最小值4已知数列an中，a11，an1an2n1(nN*)，则a5_.解析：依题意得an1an2n1，a5a1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4)1357925.答案：25清易错1易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号2在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形1已知数列的通项公式为ann28n15，则()A3不是数列an中的项B3只是数列an中的第2项C3只是数列an中的第6项D3是数列an中的第2项或第6项解析：选D令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是数列an中的第2项或第6项2已知数列an的前n项和为Sn32n，则数列an的通项公式为_解析：当n1时，a1S1325；当n2时，anSnSn132n(32n1)2n2n12n1.因为当n1时，不符合an2n1，所以数列an的通项公式为an答案：an等差数列过双基1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列1在等差数列an中，已知a2与a4是方程x26x80的两个根，若a4a2，则a2 018()A2 018 B2 017C2 016 D2 015解析：选A因为a2与a4是方程x26x80的两个根，且a4a2，所以a22，a44，则公差d1，所以a11，则a2 0182 018.2在等差数列an中，a2a3a43，Sn为等差数列an的前n项和，则S5()A3 B4C5 D6解析：选C等差数列an中，a2a3a43，Sn为等差数列an的前n项和，a2a3a43a33，解得a31，S5(a1a5)5a35.3.正项等差数列an的前n项和为Sn，已知a4a10a150，则S13()A39 B5C39 D65解析：选D正项等差数列an的前n项和为Sn，a4a10a150，a2a7150，解得a75或a73(舍去)，S13(a1a7)13a713565.4已知等差数列an的前n项和为Sn，且3a3a64.若S510，则a2的取值范围是()A(，2) B(，0)C(1，) D(0,2)解析：选A设等差数列an的公差为d，3a3a64，3(a2d)a24d4，可得d2a24.S510，5(3a24)10，解得a22.a2的取值范围是(，2)5在等差数列an中，a17，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为_解析：由当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d0，且a5a74a，a21，则a1()A. B.C. D2解析：选B因为an是等比数列，所以a5a7a4a，所以a62a4，q22，又q0，所以q，a1.清易错1Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误1设数列an为等比数列，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. BC. D.解析：选A因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6.所以a7a8a9.2设数列an是等比数列，前n项和为Sn，若S33a3，则公比q_.解析：当q1时，由题意，3a1q2，即1q33q23q3，整理得2q33q210，解得q.当q1时，S33a3，显然成立故q或1.答案：或1一、选择题1(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4 D8解析：选C设等差数列an的公差为d，由得即解得d4.2(2018江西六校联考)在等比数列an中，若a3a5a73，则a2a8()A3 B.C9 D13解析：选A由a3a5a73，得a3，即a5，故a2a8a3.3在数列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nN*)的个位数，则a2 018()A8 B6C4 D2解析：选D由题意得a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 018a33568a82.4已知数列an满足a11，anan12n(n2，nN*)，则a7()A53 B54C55 D109解析：选Ca2a122，a3a223，a7a627，各式相加得a7a12(2347)55.5设数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(nN*)，则S6()A44 B45C.(461) D.(451)解析：选B由an13Sn，得a23S13.当n2时，an3Sn1，则an1an3an，n2，即an14an，n2，则数列an从第二项起构成等比数列，所以S645.6等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有，则等于()A. B.C. D.解析：选CS99a5，T99b5，.7已知数列an是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，若5S2S4，则log4a3的值为()A1 B2C0或1 D0或2解析：选C由题意得，等比数列an中，5S2S4，a11，所以5(a1a2)a1a2a3a4，即5(1q)1qq2q3，q3q24q40，即(q1)(q24)0，解得q1或2，当q1时，a31，log4a30.当q2时，a34，log4a31.综上所述，log4a3的值为0或1.8设数列an是公差为d(d0)的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13()A75 B90C105 D120解析：选C由a1a2a315得3a215，解得a25，由a1a2a380，得(a2d)a2(a2d)80，将a25代入，得d3(d3舍去)，从而a11a12a133a123(a210d)3(530)105.二、填空题9若数列an满足a13a232a33n1an，则数列an的通项公式为_解析：当n2时，由a13a232a33n1an，得a13a232a33n2an1，两式相减得3n1an，则an.当n1时，a1满足an，所以an.答案：an10数列an的前n项和为Sn，若Sn2an1，则an_.解析：Sn2an1，Sn12an11(n2)，得an2an2an1，即an2an1.S1a12a11，即a11，数列an为首项是1，公比是2的等比数列，故an2n1.答案：2n111已知数列an中，a2na2n1(1)n，a2n1a2nn，a11，则a20_.解析：由a2na2n1(1)n，得a2na2n1(1)n，由a2n1a2nn，得a2n1a2nn，故a2a11，a4a31，a6a51，a20a191.a3a21，a5a42，a7a63，a19a189.又a11，累加得：a2046.答案：4612数列an为正项等比数列，若a33，且an12an3an1(n2，nN*)，则此数列的前5项和S5_.解析：设公比为q(q0)，由an12an3an1，可得q22q3，所以q3，又a33，则a1，所以此数列的前5项和S5.答案：三、解答题13已知在等差数列an中，a35，a1a1918.(1)求公差d及通项an；(2)求数列an的前n项和Sn及使得Sn取得最大值时n的值解：(1)a35，a1a1918，an112n.(2)由(1)知，Snn210n(n5)225，n5时，Sn取得最大值14已知数列an满足n2n.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)n2n，当n2时，(n1)2n1，两式相减得2n(n2)，ann2n1(n2)又当n1时，11，a14，满足ann2n1.ann2n1.(2)bnn(2)n，Sn1(2)12(2)23(2)3n(2)n.2Sn1(2)22(2)33(2)4(n1)(2)nn(2)n1，两式相减得3Sn(2)(2)2(2)3(2)4(2)nn(2)n1n(2)n1n(2)n1，Sn.高考研究课(一) 等差数列的3考点求项、求和及判定全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度等差数列通项5年4考求通项或某一项等差数列前n项和5年4考求项数、求和等差数列的判定5年1考判断数列成等差数列等差数列基本量的运算典例(1)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，则n()A5B5C7 D8(2)(2016全国卷)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.求b1，b11，b101；求数列bn的前1 000项和解析(1)法一：由等差数列前n项和公式可得Sn2Sn(n2)a1d2a1(2n1)d24n236，解得n8.法二：由Sn2Snan2an1a1a2n236，因此a2n2a1(2n1)d35，解得n8.答案：D(2)设数列an的公差为d，由已知得721d28，解得d1.所以数列an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.方法技巧等差数列运算的解题思路由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解即时演练1已知数列an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S64S3，则a10()A. B.C. D.解析：选BS64S3，公差d1.6a114，解得a1.a1091.2已知公差不为0的等差数列an满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列an的前n项和，则的值为()A2 B3C2 D3解析：选D设an的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，所以(a12d)2a1(a13d)，可得a14d，所以3.3(2018大连联考)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn; (2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.解：(1)由题意知(2a1d)(3a13d)36，将a11代入上式解得d2或d5.因为d0，所以d2.从而an2n1，Snn2(nN*)(2)由(1)得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由m，kN*知2mk1k11，故解得即所求m的值为5，k的值为4.等差数列的判定与证明典例(2017江苏高考)对于给定的正整数k，若数列an满足：ankank1an1an1ank1ank2kan，对任意正整数n(nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列思路点拨(1)利用等差数列的性质“ankank2an”，构造出an是“P(3)数列”需要满足的条件即可证明；(2)根据等差数列定义、通项公式、中项公式即可证明an为等差数列证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”(2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以数列an是等差数列方法技巧等差数列判定与证明的方法方法解读适合题型定义法对于n2的任意自然数，anan1为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列即时演练1(2016浙江高考)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合)若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()ASn是等差数列 BS是等差数列Cdn是等差数列 Dd是等差数列解析：选A由题意，过点A1，A2，A3，An，An1，分别作直线B1Bn1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，hn，hn1，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，hn，hn1，成等差数列，又Sn|BnBn1|hn，|BnBn1|为定值，所以Sn是等差数列故选A.2(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解：(1)设an的公比为q.由题设可得解得故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列等差数列的性质典例(1)已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为()A8 B12C6 D4(2)已知数列an，bn为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若，则()A. B.C. D.(3)(2018天水模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.解析(1)由a3a6a10a1332，得(a3a13)(a6a10)32，得4a832，即a88，m8.(2)因为an，bn为等差数列，且，所以.(3)S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.答案(1)A(2)A(3)60方法技巧等差数列的性质(1)项的性质在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.即时演练1(2018岳阳模拟)在等差数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A95 B100C135 D80解析：选B由等差数列的性质可知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8构成新的等差数列，于是a7a8(a1a2)(41)(a3a4)(a1a2)40320100.2(2018广州模拟)已知等比数列an的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是()A. B.C. D.解析：选A设等比数列an的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，所以.3若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，已知，则_.解析：数列an和bn都是等差数列，.答案：等差数列前n项和的最值等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题典例等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，当Sn取得最大值时，n的值为_解析法一：用“函数法”解题由S3S11，可得3a1d11a1d，即da1.从而Snn2n(n7)2a1，因为a10，所以0，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.即时演练1(2018潍坊模拟)在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15 BS16CS15或S16 DS17解析：选Aa129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n(2)n230n(n15)2225.当n15时，Sn取得最大值2已知an是等差数列，a126，a8a135，当an的前n项和Sn取最小值时，n的值为()A8 B9C10 D11解析：选B设数列an的公差为d，a126，a8a135，267d2612d5，解得d3，Sn26n3n2n2，an的前n项和Sn取最小值时，n9.3已知an是各项不为零的等差数列，其中a10，公差d0，a60，公差d0，前n项和为Sn(nN*)，有下列命题：若S3S11，则必有S140；若S3S11，则必有S7是Sn中的最大项；若S7S8，则必有S8S9；若S7S8，则必有S6S9.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选D对于，若S11S34(a1a14)0，即a1a140，则S140，所以正确；对于，当S3S11时，易知a7a80，又a10，d0，所以a70a8，故S7是Sn中的最大项，所以正确；对于，若S7S8，则a80，那么d0，可知a90，此时S9S8S9，所以正确；对于，若S7S8，则a80，S9S6a7a8a93a8S9，所以正确故选D.4(2018大同模拟)在等差数列中，a1a2a33，a18a19a2087，则此数列前20项的和等于()A290 B300C580 D600解析：选B由a1a2a33a23，得a21.由a18a19a203a1987，得a1929，所以S2010(a2a19)300.5设等差数列an的前n项和为Sn，且S918，an430(n9)，若Sn336，则n的值为()A18 B19C20 D21解析：选D因为an是等差数列，所以S99a518，a52，Sn3216n336，解得n21.6设an是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是()AdS5D当n6或n7时Sn取得最大值解析：选C由S5S6，得a1a2a3a4a50.同理由S7S8，得a80.又S6S7，a1a2a6a1a2a6a7，a70，B正确；da7a6S5，即a6a7a8a90，可得2(a7a8)0，由结论a70，a80，知C选项错误；S5S8，结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确故选C.7等差数列an的前n项和为Sn，若公差d0，(S8S5)(S9S5)|a8| B|a7|a8|C|a7|a8| D|a7|0解析：选B因为(S8S5)(S9S5)0，所以(a6a7a8)(a6a7a8a9)0，因为an为等差数列，所以a6a7a83a7，a6a7a8a92(a7a8)，所以a7(a7a8)0，所以a70，且|a7|a8|，故选B.二、填空题8在数列an中，an1，a12，则a20_.解析：由an1，a12，可得3，所以是以为首项，3为公差的等差数列所以3(n1)，即an，所以a20.答案：9数列an满足：a11，an12an2n，则数列an的通项公式为_解析：a11，an12an2n，数列是首项为，公差d的等差数列，故(n1)n，即ann2n1.答案：ann2n110设Sn是等差数列an的前n项和，若S40，且S83S4，S12S8，则_.解析：当S40，且S83S4，S12S8时，由等差数列的性质得：S4，S8S4，S12S8成等差数列，2(S8S4)S4(S12S8)，2(3S4S4)S4(3S43S4)，解得2.答案：2三、解答题11已知数列an是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3a412.(1)求a1a2a3a4a5；(2)设bn10an，数列bn的前n项和为Sn，若b1b2，则n为何值时，Sn最大？Sn最大值是多少？解：(1)设an的公差为d，a1，a2，a5成等比数列，(a1d)2a1(a14d)，解得d0或d2a1.当d0时，a3a412，an6，a1a2a3a4a530；当d0时，a3a412，a11，d2，a1a2a3a4a525.(2)b1b2，bn10an，a1a2，d0，由(1)知an2n1，bn10an10(2n1)112n，Sn10nn2(n5)225.当n5时，Sn取得最大值，最大值为25.12(2018沈阳质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a64，S55.(1)求数列an的通项公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值和Tn的表达式解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意知解得故an2n7(nN*)(2)由an2n70，得n，即n3，所以当n3时，an2n70.由(1)知Snn26n，所以当n3时，TnSn6nn2；当n4时，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18.故T513，Tn13已知数列an中，a14，anan12n13(n2，nN*)(1)证明数列an2n是等差数列，并求an的通项公式；(2)设bn，求bn的前n项和Sn.解：(1)证明：当n2时，anan12n13an12n2n13，an2n(an12n1)3.又a14，a122，故数列an2n是以2为首项，3为公差的等差数列，an2n2(n1)33n1，an2n3n1.(2)bn1，Snn，令Tn，则Tn，得，Tn1，13，Snn5.已知数列an的前n项和为Sn，a13，an12an2n11(nN*)(1)求a2，a3；(2)求实数使为等差数列，并由此求出an与Sn；(3)求n的所有取值，使N*，说明你的理由解：(1)a13，an12an2n11，a2232219，a32923125.(2)a13，an12an2n11，an112(an1)2n1，1，故1时，数列成等差数列，且首项为1，公差d1.n，即ann2n1.Sn(12222323n2n)n，设Tn12222323n2n，则2Tn122223324n2n1，得，Tn222232nn2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12，SnTnn(n1)2n12n.(3)2，结合y2x及yx的图象可知2n恒成立，2n1n，即n2n10，0且an为递增数列，Sn0且Snan，1，即12，当n2时，N*.综上可得n1.高考研究课(二)等比数列的3考点基本运算、判定和应用全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度等比数列的基本运算5年5考由项与和的关系求首项、求前n项和、求项数等等比数列的判定5年2考证明等比数列等比数列的综合应用5年3考求和后放缩法证明不等式，等比数列求项之积的最值等比数列基本量的运算典例(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则()A4n1B4n1C2n1 D2n1(2)(2018石家庄模拟)设数列an的前n项和Sn满足6Sn19an(nN*)求数列an的通项公式；若数列bn满足bn，求数列bn前n项和Tn.解析(1)设an的公比为q，由()()可得2，q，代入()得a12，an2n1，Sn4，2n1.答案：D(2)当n1时，由6a119a1，得a1.当n2时，由6Sn19an，得6Sn119an1，两式相