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2.4 平面向量的数量积及运算律,问题,其中力F 和位移s 是向量, 是F 与s 的夹角,而功是数量.,从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念.,平面向量的数量积的定义,规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 0,(1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定,(2) a b不能写成 ab ,ab 表示向量的另一种运算,已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积),记作 , 即,例题讲解,解:,例1已知| |=5,| |=4, 与 的夹角 ,求 .,例题讲解,例2.已知正三角形ABC的边长为1,求(1) (2) (3),A,C,B,例题讲解,例2.已知正三角形ABC的边长为1,求(1) (2) (3),A,C,B,例题讲解,例2.已知正三角形ABC的边长为1,求(1) (2) (3),A,C,B,例题讲解,例2.已知正三角形ABC的边长为1,求(1) (2) (3),A,C,B,向量的数量积的几何意义,(1)投影的概念,如图所示:,则 ,,在 方向上的投影,叫做向量,叫做向量,在 方向上的投影,投影是向量 还是数量?,为钝角时, | b | cos0,为锐角时, | b | cos0,为直角时, | b | cos=0,向量的数量积的几何意义,(2)数量积的几何意义,数量积 等于 的长度,的几何意义是 与 在 方向上的投影 的乘积,例3、 , , 与 的夹角为 ,则 在 方向上的投影为 。,讨论总结性质:,(4),(判断两向量垂直的依据),设 与 都是非零向量, 为 与 的夹角,(2)当 与 同向时,,当 与 反向时,,(3) 或,(5),你能得出哪些结论? 小组快速讨论一下!,平面向量的数量积的运算律,已知向量 , , 和实数 ,则,(1) 。,(交换律),(2) = 。,(3) 。,(与数乘的结合律),(分配律),课堂检测,C,B,课堂检测,课堂检测,有以下两种情况,(3) 的夹角为60时,求,例题讲解,例: 已知非零向量 与 ,满足 ,且 与 垂直,求证:,证明:,
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