建筑力学14-组合变形.ppt

第十一章 杆件在组合变形下的强度计算,1，掌握用叠加法计算组合变形， 2，熟悉斜弯曲时横截面上的内力、应力和强度计算。 3，熟悉拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算、 4，偏心压缩杆件的强度计算， 5，掌握截面核心的概念。,11.1 组合变形的概念,在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形，称为组合变形。 例如，图11.1(a)所示的屋架檩条；图11.1(b)所示的空心墩；图11.1(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的组合变形。,11.1.1 组合变形的概念,图11.1,解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤是：首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。 试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。,11.1.2 组合变形的解题方法,11.2 斜弯曲,对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内，这种变形称为平面弯曲。 如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。,如图11.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作用在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向形心主轴y的夹角为。 将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个分力，得 Py=Pcos Pz=Psin 分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面内发生平面弯曲。,11.2.1 外力的分解,图11.2,在距自由端为x的横截面上，两个分力Py和Pz所引起的弯矩值分别为 Mz=Pyx=Pcosx=Mcos My=Pzx=Psinx=Msin 该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正应力分别为 = Mzy/Iz =y Mcos/Iz = Myz/Iy =z Msin/Iy,11.2.2 内力和应力的计算,根据叠加原理，K点的正应力为 =+ = Mzy/Iz + Myz/Iy =M(ycos/Iz +zsin/Iy) 式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩。正应力和的正负号，可通过平面弯曲的变形情况直接判断，如图11.2(b)所示，拉应力取正号，压应力取负号。,图11.2,因为中性轴上各点的正应力都等于零，设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将=0代入式(12.1)，有 =M(y0cos/Iz +z0 sin/Iy)=0 则 y0 cos/Iz +z0sin/Iy =0 上式称为斜弯曲时中性轴方程式。,11.2.3 中性轴的位置,从中可得到中性轴有如下特点： (1) 中性轴是一条通过形心的斜直线。 (2) 力P穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象限。反之位置互换。 (3) 中性轴与z轴的夹角(图11.2(c)的正切为 tan=y0/z0= Iz/Iytan 从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关，只决定于荷载P与y轴的夹角及截面的形状和尺寸。,图11.2,进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱角上。图11.2(a)所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。 若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为 max= Mzmax/Wz + Mymax/Wy ,11.2.4 强度条件,对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值可按下述范围选取： 矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.22； 工字形截面：Wz/Wy =810； 槽形截面： Wz/Wy =68。,【例11.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料为A3钢，许用应力=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角=15，如图11.3所示。试校核吊车梁的强度。 【解】(1) 荷载分解 将荷载P沿梁横截面的y、z轴分解 Py=Pcos=30cos15kN=29kN Pz=Psin=30sin15kN=7.76kN (2) 内力计算 吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。,图11.3,该截面上由Py在xOy平面内产生的最大弯矩为 Mzmax= Pyl/4 = 294/4kNm=29kNm 该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为 Mymax= Pzl/4 = 7.764/4 kNm=7.76kNm (3) 强度校核 由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz分别为 Wy=70.8cm3=70.8103mm3 Wz=692.2cm3=692.2103mm3,【例11.2】图11.4所示矩形截面木檩条，两端简支在屋架上，跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载q=2kN/m。屋面的倾角=20，材料的许用应力=10MPa。试选择该檩条的截面尺寸。 【解】(1) 荷载分解 荷载q与y轴间的夹角=20，将均布荷载q沿截面对称轴y、z分解，得 qy=qcos=2cos20kN/m =1.88kN/m qz=qsin=2sin20kN/m =0.68kN/m,图11.4,(2) 内力计算 檩条在qy和qz单独作用下，最大弯矩均发生在跨中截面，其值分别为 Mzmax= qyl2/8 = 1.8842/8kNm=3.76kNm Mymax= qzl2/8 = 0.6842/8kNm=1.36kNm (3) 选择截面尺寸 根据式(12.4)，檩条的强度条件为 Mzmax/Wz + Mymax/Wy 上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5，代入上式，得 3.76106/1.5Wy + 1.36106/Wy 10,Wy387103mm3 由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 387103 解得 b115.68mm 为便于施工，取截面尺寸b=120mm，则 h=1.5b=1.5120mm=180mm 选用120mm180mm的矩形截面。,11.3 偏心压缩（拉伸）,图11.5(a)所示的柱子，荷载P的作用线与柱的轴线不重合，称为偏心力，其作用线与柱轴线间的距离e称为偏心距。偏心力P通过截面一根形心主轴时，称为单向偏心受压。 (1) 荷载简化和内力计算 将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图11.5(b)所示。 横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为 N=P Mz=Pe,11.3.1 单向偏心压缩（拉伸）,图11.5,(2) 应力计算 对于该横截面上任一点K(图11.6)，由轴力N所引起的正应力为 =- N/A 由弯矩Mz所引起的正应力为 =- Mzy/Iz 根据叠加原理，K点的总应力为 =+=- N/A - Mzy/Iz,图11.6,(3) 强度条件 从图11.6(a)中可知：最大压应力发生在截面与偏心力P较近的边线n-n线上；最大拉应力发生在截面与偏心力P较远的边线m-m线上。其值分别为 min=ymax=- P/A - Mz/Wz max=lmax=- P/A + Mz/Wz 截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏心压缩的强度条件为 min=ymax=- P/A - Mz/Wzy max=lmax=- P/A + Mz/Wz l,(4) 讨论 下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。 图12.6(a)所示的偏心受压柱，截面尺寸为bh，A=bh，Wz= bh2/6 ，Mz=Pe，将各值代入得 max=- P/bh +Pe/bh2/6 =- P/bh(1- 6e/h) 边缘m-m上的正应力max的正负号，由上式中(1- 6e/h )的符号决定，可出现三种情况：, 当 6e/h 1，即e h/6 时，max为拉应力。截面部分受拉，部分受压，应力分布如图11.7(c)所示。,图11.7,【例11.3】图11.8所示矩形截面柱，屋架传来的压力P1=100kN，吊车梁传来的压力P2=50kN，P2的偏心距e=0.2m。已知截面宽b=200mm，试求： (1) 若h=300mm，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各为多少? (2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确定的h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少? 【解】(1) 内力计算 将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为 N=P1+P2=(100+50)kN=150kN,图11.8,截面的弯矩为 Mz=P2e=500.2kNm=10kNm (2) 计算lmax和ymax 由式(12.6)，得 lmax=- P/A + Mz/Wz =(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa ymax= -P/A - Mz/Wz =(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa (3) 确定h和计算ymax 欲使截面不产生拉应力，应满足lmax0，即 - P/A + Mz/Wz 0,- 150103/200h + 10106/ 200h2/6 0 则 h400mm 取 h=400mm 当h=400mm时，截面的最大压应力为 ymax=- P/A - Mz/Wz =(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa 对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外，还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。,【例11.4】图11.9(a)所示的悬臂式起重架，在横梁的中点D作用集中力P=15.5kN，横梁材料的许用应力=170MPa。试按强度条件选择横梁工字钢的型号(自重不考虑)。 【解】(1) 计算横梁的外力 横梁的受力图如图11.9(b)所示。为了计算方便，将拉杆BC的作用力NBC分解为Nx和Ny两个分力。由平衡方程解得 Ry=Ny= P/2 =7.75kN Rx=Nx=Nycot=7.75 3.4/1.5 kN=17.57kN,图11.9,(2) 计算横梁的内力 横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲，横梁中点截面D的弯矩最大，其值为 Mmax= Pl/4 = 15.53.4/4 kNm=13.18kNm 横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩，各截面的轴力都相等，其值为 N=Rx=17.57kN (3) 选择工字钢型号 由式(12.7)，有 ymax=- N/A - Mmax/Wz,由于式中A和Wz都是未知的，无法求解。因此，可先不考虑轴力N的影响，仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号，再按照弯压组合变形强度条件进行校核。由 max= Mmax/Wz 得Wz Mmax/ = 77.5103mm3=77.5cm3 查型钢表，选择14号工字钢，Wz=102cm3，A=21.5cm2。 根据式(12.7)校核，有 ymax =- N/A - Mmax/Wz=137MPa 结果表明，强度足够，横梁选用14号工字钢。若强度不够，则还需重新选择。,当偏心压力P的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面任一形心主轴时，称为双向偏心压缩。 如图11.10(a)所示，偏心压力P至z轴的偏心距为ey，至y轴的偏心距为ez。,11.3.2 双向偏心压缩（拉伸）,图11.10,(1) 荷载简化和内力计算 将压力P向截面的形心O简化，得到一个轴向压力P和两个附加力偶矩mz、my(图11.10(b)，其中 mz=Pey，my=Pez 可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。 由截面法可求得任一截面ABCD上的内力为 N=P，Mz=Pey，My=Pez,(2) 应力计算 对于该截面上任一点K(图11.10(c)，由轴力N所引起的正应力为 =- N/A 由弯矩Mz所引起的正应力为 =- Mzy/Iz 由弯矩My所引起的正应力为 =- Myz/Iy 根据叠加原理，K点的总应力为 =+=- N/A - Mzy/Iz - Myz/Iy,(3) 强度条件 由图11.10(c)可见，最大压应力min发生在C点，最大拉应力max发生在A点，其值为 min=ymax=- P/A - Mz/Wz - My/Wy max=lmax=- P/A + Mz/Wz+ My/Wy 危险点A、C均处于单向应力状态，所以强度条件为 min=ym