(三)偏微分方程的数值离散方法.ppt

1,（三）偏微分方程的数值离散方法,3.1 有限差分法 3.2 有限体积法 (有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线）,2,3.1 有限差分法,3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的构造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理论基础 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全离散方法,3,3.1.1 模型方程的差分逼近,4,3.1.2 差分格式的构造,5,3.1.3 差分方程的修正方程,差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 Warming-Hyett方法： 差分方程(2)写成算子的形式：,6,3.1.3 差分方程的修正方程 (续),7,3.1.3 差分方程的修正方程(续),8,3.1.4 差分方法的理论基础,相容性，稳定性，收敛性 等价性定理 Fourier稳定性分析,9,3.1.4 差分方法的理论基础（续）,Fourier (Von Neumann) 稳定性分析,10,3.1.4 差分方法的理论基础（续）,Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续） 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy),11,3.1.5 守恒型差分格式,流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组： 定义,12,3.1.5 守恒型差分格式（续）,守恒性质： 非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。,13,3.1.5 守恒型差分格式（续）,守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式 是和守恒律 相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。 推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式,14,3.1.6 偏微分方程的全离散方法,对差分格式的一般要求： 有精度、格式稳定、求解效率高 特殊要求 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等) 主要指非定常方程的时间离散,15,3.1.6偏微分方程的全离散方法(续）,两层格式 Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式 Runge-Kutta方法 时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法 多层格式 Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式,16,3.1.6.1 两层格式,Crank-Nicolson格式 Predictor-Corrector格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack格式 Runge-Kutta方法,17,3.1.6.1 两层格式(cont.）,Lax-Wendroff 格式 一步LW格式,18,3.1.6.1 两层格式(cont.）,Lax-Wendroff 格式 两步LW格式 常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。,19,3.1.6.1 两层格式(cont.）,Mac Cormack 格式 (1969) 两步格式 比LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。 LW两步格式和MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。,20,Mac Cormack格式的构造,21,3.1.6.2 三层格式,Leap-Frog格式 Adams-Bashforth格式,22,第二课后阅读提示,傅德薰计算流体力学，3.1 3.3 水鸿寿一维流体力学数值方法3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics, Ferziger and Peric, Springer Chap. 6,23,作业2,1.用Fourier法分析 3.1.6.1节中Crank-Nicolson格式的稳定性。 2.分析前面3.1.6节中Mac Cormack格式是几阶精度。,24,3.2有限体积法,出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标） 以控制体为离散量 计算体积分和面积分需要适当的插值公式和积分公式 (quadrature formula) 适用于任意形状的网格，复杂几何形状 缺点：难以构造大于二阶以上的格式,25,3.2.1 定常守恒型方程和控制体,26,3.2.2 面积分的逼近,面积分用积分点的值表示(quadrature) 积分点的值用CV的值表示(interpolation) 对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度,27,3.2.4 体积分的逼近,当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。,28,3.2.4 体积分的逼近,四阶精度：2D 直角坐标网格 最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分,29,3.2.5 插值和微分,积分点的函数值和其法向梯度 1st UDS: 取上风点的值,30,插值,2nd order: 向积分点线性插值 等价于中心差分 (CDS),31,插值,当积分点的函数是线性插值时 Second order,32,插值,QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics) 插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。,33,插值,高精度： N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公式。 界面上导数可以用插值公式的微分求出。,34,3.2.5有限体积法的边界条件,用边界条件替代面积分 入口：通常给定对流通量 (mass, momentum, energy, etc.) 壁面和对称面：通量为零 边界上函数值给定：和内部CV的值共同构建边界上的导数,35,FV例子,36,3.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式,37,38,3.2.6.1 Godunov方法的思想,39,一阶迎风格式(CIR格式),40,用Godunov思想 说明CIR格式=Godunov格式,41,42,Riemann解图示,43,44,3.2.6.1 1D Euler方程组的Godunov格式,Godunov格式是基于积分形式的方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上的间断关系,45,移动网格上的积分回路,46,移动网格上的Godunov格式,47,固定网格上的Godunov格式,48,Lagrange网格上的Godunov格式,49,Euler方程组的Riemann问题的解 理想气体的5种解,50,51,二维Euler方程组的Riemann问题,52,53,仅是局部化的1D RP,54,第3