2019版高考数学复习选修4系列22.3不等式选讲讲义.docx

22.3不等式选讲五年高考考点不等式的解法与证明1.(2017课标全国理,23,10分)选修45:不等式选讲已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.2.(2017课标全国理,23,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解析(1)f(x)=当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|x|-322+5454,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为.3.(2017课标全国理,23,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x1时,式化为x2+x-40,从而10,|x-1|a3,|y-2|a3,求证:|2x+y-4|a.证明因为|x-1|a3,|y-2|a3,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|2a3+a3=a.6.(2016课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.解析(1)f(x)=(2分)当x-12时,由f(x)2得-2x-1;(3分)当-12x12时, f(x)2;(4分)当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1,(5分)所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|1的解集.解析(1)f(x)=(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)1的解集为x|1x3; f(x)1的解集为.(10分)8.(2016课标全国理,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解析(1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(5分)(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(7分)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).(10分)9.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|2.解析原不等式可化为或解得x-5或x-13.综上,原不等式的解集是.10.(2015课标,24,10分)(选修45:不等式选讲)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得23x0,解得1x1的解集为x23x6,故a2.所以a的取值范围为(2,+).(10分)11.(2015课标,24,10分)(选修45:不等式选讲)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则a+bc+d;(2)a+bc+d是|a-b|cd得(a+b)2(c+d)2.因此a+bc+d.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得a+bc+d.(ii)若a+bc+d,则(a+b)2(c+d)2,即a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c+d是|a-b|c-d|的充要条件.12.(2015陕西,24,10分)(选修45:不等式选讲)已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解析(1)由|x+a|b,得-b-ax0,b0,且a+b=1a+1b.证明:(1)a+b2;(2)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2ab=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b0,y0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.证明因为x0,y0,所以1+x+y233xy20,1+x2+y33x2y0,故(1+x+y2)(1+x2+y)33xy233x2y=9xy.15.(2014课标,24,10分)若a0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3242,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b26ab43.由于436,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.16.(2013江苏,21D,10分)已知ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b.证明2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为ab0,所以a-b0,a+b0,2a+b0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)0,即2a3-b32ab2-a2b.17.(2013辽宁理,24,10分)已知函数f(x)=|x-a|,其中a1.(1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.解析(1)当a=2时, f(x)+|x-4|=当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1;当2x4时, f(x)4-|x-4|无解;当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5,所以f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5.(4分)(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|2,解得a-12xa+12.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,所以a-12=1,a+12=2,于是a=3.(10分)教师用书专用(1821)18.2014福建,21(3),7分(选修45:不等式选讲)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.解析(1)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r23.19.(2014辽宁,24,10分)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)214.解析(1)f(x)=当x1时,由f(x)=3x-31得x43,故1x43;当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0x1.所以f(x)1的解集为M=.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+14得16x-1424,解得-14x34.因此N=,故MN=.当xMN时, f(x)=1-x,于是x2f(x)+xf(x)2=xf(x)x+f(x)=xf(x)=x(1-x)=14-x-12214.20.(2013课标全国理,24,10分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca13;(2)a2b+b2c+1.证明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.21.(2013课标全国理,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x-a2,12时, f(x)g(x),求a的取值范围.解析(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=从函数图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0xy,求证:2x+1x2-2xy+y22y+3.证明由题意得x0,y0,x-y0,因为2x+1x2-2xy+y2-2y=2(x-y)+1(x-y)2=(x-y)+(x-y)+1(x-y)23=3,当且仅当x-y=1x-y,即x-y=1时取等号,所以2x+1x2-2xy+y22y+3.B组20162018年模拟提升题组(满分:40分时间:20分钟)解答题(共40分)1.(2018江苏淮安、宿迁高三期中)已知正数x,y,z满足x+y+z=4,求x24+y29+z2的最小值.解析由柯西不等式可知:(x+y+z)2x24+y29+z2(4+9+1),故x24+y29+z21614=87,当且仅当x22=y33=z,即x=87,y=187,z=27时,x24+y29+z2取得最小值87.2.(2017江苏南京、盐城一模)若实数x,y,z满足x+2y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.解析由柯西不等式,得(x+2y+z)2(12+22+12)(x2+y2+z2),又因为x+2y+z=1,所以x2+y2+z216,当且仅当x1=y2=z1,即x=z=16,y=13时取等号.综上,(x2+y2+z2)min=16.3.(2017江苏徐州期末调研)已知a,b,c均为正实数,1a3+1b3+1c3+27abc的最小值为m,解关于x的不等式|x+1|-2x0,所以1a3+1b3+1c3+27abc3+27abc=3abc+27abc2=18,当且仅当a=b=c=313时,取“=”,所以m=18.所以不等式|x+1|-2xm即为|x+1|2x+18,所以-2x-18x+1-193,所以原不等式的解集为.4.(2017江苏苏州期中)已知a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1,求证:a21+a+b21+b+c21+c+d21+d15.证明(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)a21+a+b21+b+c21+c+d21+d1+aa1+a+1+bb1+b+1+cc1+c+1+dd1+d2=(a+b+c+d)2=1,又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5,a21+a+b21+b+c21+c+d21+d15,当且仅当a1+a=b1+b=c1+c=时取等号.C组20162018年模拟方法题组方法1不等式的证明1.(2017镇江高三第一学期期末)已知a0,b0,证明:(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)9a2b2.证明因为a0,b0,所以a2+b2+ab3=3ab0,ab2+a2b+13=3ab0,所以(a2+b2+ab)(ab2+a