2019版高考数学复习选修4系列22.1矩阵与变换讲义.docx

22.1矩阵与变换考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.矩阵与变换1.矩阵与逆矩阵2.矩阵变换的运用3.矩阵的特征值与特征向量B21B,10分21B,10分21B,10分21B,10分21B,10分解答题2.极坐标方程和直角坐标方程的互化极坐标方程及简单运用B21C,10分解答题3.参数方程和普通方程的互化参数方程及简单运用B21C,10分21C,10分21C,10分21C,10分解答题4.不等式的解法与证明1.绝对值不等式的解法2.简单不等式的证明B21D,10分21D,10分21D,10分21D,10分21D,10分解答题分析解读江苏高考对选修4的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控制难度,注意解题的准确性和规范性.命题探究直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,所以设P(2s2,22s),从而点P到直线l的距离d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45.当s=2时,dmin=455.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.五年高考考点矩阵与变换1.(2017江苏,21B,10分)选修42:矩阵与变换已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:x28+y22=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.解析本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A=01銆10,B=10銆02,所以AB=01銆20.(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则01銆20x0y0=xy,即2y0=x,x0=y,所以x0=y,y0=x2.因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则x028+y022=1,从而y28+x28=1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=,矩阵B的逆矩阵B-1=,求矩阵AB.解析设B=,则B-1B=10銆01,即=10銆01,故a-12c=1,b-12d=0,2c=0,2d=1,解得a=1,b=14,c=0,d=12,所以B=1銆140銆12.因此,AB=1銆540銆-1.3.(2015江苏,21B,10分)已知x,yR,向量=1-1是矩阵A=x銆1y銆0r的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.解析由已知,得A=-2,即=x-1y=-22,则x-1=-2,y=2,即x=-1,y=2,所以矩阵A=-1銆12銆0.从而矩阵A的特征多项式f()=(+2)(-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.4.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A=,B=12銆1-1,向量=2y,x,y为实数,若A=B,求x+y的值.解析由已知,得A=-1銆21銆x2y=-2+2y2+xy,B=2+y4-y.因为A=B,所以-2+2y2+xy=2+y4-y.故-2+2y=2+y,2+xy=4-y.解得x=-12,y=4.所以x+y=72.5.(2013江苏,21B,10分)已知矩阵A=-1銆00銆2,B=,求矩阵A-1B.解析设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,故a=-1,b=0,c=0,d=12,从而A的逆矩阵为A-1=,所以A-1B=.教师用书专用(6)6.2013福建,21(1),7分选修42:矩阵与变换已知直线l:ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l:x+by=1.(1)求实数a,b的值;(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且Ax0y0=x0y0,求点P的坐标.解析(1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x,y).由xy=x+2yy,得x=x+2y,y=y.又点M(x,y)在l上,所以x+by=1,即x+(b+2)y=1,依题意得a=1,b+2=1,解得a=1,b=-1.(2)由Ax0y0=x0y0,得x0=x0+2y0,y0=y0,解得y0=0.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点矩阵与变换1.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知矩阵A=,若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P(2,6),求实数k的值.解析矩阵A=,A-1=,所以A-126=22,将(2,2)代入y=kx+1得k=12.2.(2018江苏扬州中学高三月考)已知矩阵A=,A的逆矩阵A-1=,求A的特征值.解析因为AA-1=,所以a=1,23+ab=0.解得a=1,b=-23.A=,则A的特征多项式f()=(-3)(-1).令f()=0,解得1=1,2=3.所以A的特征值为1,3.3.(2017江苏南京、盐城一模)设矩阵M=的特征值对应的一个特征向量为1-2,求m与的值.解析由题意得=1-2,则解得m=0,=-4.4.(2017江苏扬州期中)已知矩阵M=的一个特征值为4,求实数a的值.解析矩阵M的特征多项式f()=(-2)(-1)-3a,因为矩阵M=的一个特征值为4,所以4为方程f()=0的一个根,所以23-3a=0,解得a=2.5.(2017江苏徐州期末调研)已知矩阵A=的一个特征值为2,其对应的一个特征向量=21.求a,b的值.解析由条件知,A=2,即=221,即2+a-2+b=42,所以2+a=4,-2+b=2,解得a=2,b=4.所以a,b的值分别为2,4.6.(2016江苏苏北四市一模,21)已知矩阵A=,求矩阵A的特征值和特征向量.解析矩阵A的特征多项式f()=2-5+6,由f()=0,解得1=2,2=3.当=2时,特征方程组为x-2y=0,x-2y=0,故属于特征值2的一个特征向量1=21;当=3时,特征方程组为2x-2y=0,x-y=0,故属于特征值3的一个特征向量2=11.B组20162018年模拟提升题组(满分:40分时间:20分钟)解答题(共40分)1.(2017江苏苏州期中)已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量e1=11,并且矩阵M将点(-1,3)变换为(0,8).(1)求矩阵M;(2)求曲线x+3y-2=0在M的作用下所得的新曲线方程.解析(1)设M=,由题意得=811,=08,a+b=8,c+d=8,-a+3b=0,-c+3d=8,解得M=.(2)设原曲线上任一点P(x,y)在M的作用下的对应点为P(x,y),则xy=,即x=6x+2y,y=4x+4y,解得x=2x-y8,y=-2x+3y8,代入x+3y-2=0,得x-2y+4=0,即曲线x+3y-2=0在M的作用下得到的新曲线方程为x-2y+4=0.2.(2017江苏海安中学质检)已知二阶矩阵A=,矩阵A属于特征值1=-1的一个特征向量为1=1-1,属于特征值2=4的一个特征向量为2=32.求矩阵A.解析由特征值、特征向量的定义可知,A1=11,即=-11-1,所以a-b=-1,c-d=1.同理可得3a+2b=12,3c+2d=8,解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩阵A=.3.(苏教选42,二,5,3,变式)二阶矩阵A有特征值=6,其对应的一个特征向量e=11,并且矩阵A对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4),求矩阵A.解析设所求二阶矩阵A=,则Ae=6e,A12=84,a+b=6,c+d=6,a+2b=8,c+2d=4,解方程组得a=4,b=2,c=8,d=-2,A=.4.(2016江苏南通二模,21)在平面直角坐标系xOy中,设点A(-1,2)在矩阵M=对应的变换作用下得到点A,将点B(3,4)绕点A逆时针旋转90得到点B,求点B的坐标.解析设B(x,y),由=12,得A(1,2).则=(2,2),=(x-1,y-2).记旋转矩阵N=,则=x-1y-2,即-22=x-1y-2,解得x=-1,y=4,所以点B的坐标为(-1,4).C组20162018年模拟方法题组方法1求解逆矩阵1.已知二阶矩阵M对应的变换T将平面上的点(2,-1),(-1,2)分别变换成点(3,-4),(0,5),试求矩阵M的逆矩阵.解析设M=,则=3-4,=05,所以2a-b=3,2c-d=-4,-a+2b=0,-c+2d=5,解得a=2,b=1,c=-1,d=2,所以矩阵M=,设矩阵M的逆矩阵M-1=,易知MM-1=,所以2x+z=1,2y+t=0,-x+2z=0,-y+2t=1,解得x=25,y=-15,z=15,t=25,所以M-1=.方法2矩阵变换的应用2.(2016江苏南京、盐城一模,21)设矩阵M=的一个特征值为2,若曲线C在矩阵M对应的变换下的方程为x2+y2=1,求曲线