方向导数与梯度(69).ppt

1,第九章,多元函数微分法,及其应用,第一节 多元函数的基本概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 多元函数微分学的几何应用,第七节 方向导数与梯度,第八节 多元函数的极值及其求法,2,第九章,第七节,方向导数与梯度,一、问题的提出,二、方向导数的定义,三、梯度的概念,3,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,4,二、方向导数,定义: 若函数,则称,在点,处,) 存在下列极限:,记作,在一些实际问题中，需要研究函数,在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。,沿方向 (方向角为,为函数在点 P 处沿方向 的方向导数.,5,6,(3)对于二元函数,向角为, ) 的方向导数为,7,特别:, 当 与 轴同向, 当 与 轴反向,8,定理:,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,则函数在该点沿任意方向 的方向导数存在 ,9,对于二元函数,向角为, ) 的方向导数为,10,解,11,解,由方向导数的计算公式知,12,故,13,例3. 函数,提示:,则,(96考研),在点 处沿点,指向 方向的方向导数是 .,14,解,令,故,方向余弦为：,15,故,16,三、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,一个函数,在点,沿着不同的方向,的方向导数是不同的，,17,1. 定义,即,同样可定义二元函数,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2. 梯度的几何意义,称为函数 在点 处的梯度,18,函数在一点的梯度垂直于该点等量面(或等值线) ,称为函数 f 的等值线 .,则L*上点P 处的法向量为,同样, 对应函数,有等量面,当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,指向函数增大的方向.,19,解,由梯度计算公式得,故,求函数,处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？,例5,在点,20,例6.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(92考研),21,例7：求函数,处的最大方向导数。,解：,在点M（1，0，1）,处的最大方向导数为：,同理:,在点,22,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,23,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,24,思考与练习,1. 设函数,在该点切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数;,的夹角 .,2. P131 题 16,(1) 求函数在点 处沿曲线,(2) 求函数在 处的梯度与(1)中切线方向,25,曲线,1. (1),在点,解答提示:,