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文档简介
2.3.3 向量数量积的坐标表示 与度量公式,问题: 如何用向量的长度、夹角反映数量积? 如何用数量积、长度来反映夹角? 向量的运算律有哪些?,练习1:已知|a|=1,|b|= , (1)若ab,求ab; (2)若a、b的夹角为60,求|a+b|; (3)若ab与a垂直,求a与b的夹角.,45,练习2:设i,j为正交单位向量,则 ii=_ jj=_ ij=_,0,1,1,1.向量内积的坐标运算,abx1x2+y1y2.,若向量a=(x1, y1),b=(x2, y2),则,推广1:设a=(x, y),则|a|2=x2+y2或 (长度公式),推广2:设A(x1, y1) 、B(x2, y2),则 (距离公式),推广3: cos = ( )(夹角公式),2. 向量垂直的充要条件,已知两个向量a=(x1, y1),b=(x2, y2) ,那么,ab x1x2+y1y2=0,例1.设a = (3, 1),b = (1, 2),求ab,|a|,|b|,和,解: ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.,|a|=,|b|=,cos =,所以 =45,例2.已知A(1, 2),B(2, 3),C(2, 5), 求证:ABC是直角三角形,证明:,=(1, 1),=(3, 3),所以,=3+3=0,,即ABAC, ABC是直角三角形.,例3. 已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求BAC的正弦值。,例4.已知a=(4,2) ,求与a 垂直的单位向量 。,解:设所求向量为(x, y), 则,解得,所求向量为,例5已知点A(a,b)与点A(b,a),求证直线y=x是线段AA的垂直平分线。,证明:设线段AA的中点是M(x, y),依据中点公式,有,由此得x=y,点M在直线y=x上, 在直线y=x上任取一点P(x, x),所以,因此,直线y=x是线段AA的垂直平分线.,例6. 已知a=(1, 0),b=(2, 1),当k为何实数时,向量kab与a+3b (1)平行;(2)垂直。,解:kab=(k2, 1), a+3b=(7, 3), (1)由向量
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