城市小区雨水管网非恒定数学模型的对比研究

第 2 6 卷 第 5期 2 0 0 7年 1 0月 水力发电学报 J OU RN A L O F HY DR O EL E C T R I C E N GI NE E R I N G V0 1 2 6 No 5 0c t 2 0 0 7 城市小 区雨水管网非恒定数学模型的对 比研究 张 明亮 ，沈永 明，沈 丹 ( 大连 理工大 学海 岸和 近海工 程 国家重点 实验 室 ， 大 连 1 1 6 0 2 4 ) 摘要 ：本文采用水力学和水文学相结合 的途 径 ， 建立了三种排水管网系统的数学模 型 ， 动力波法 、 非线性运 动波法 、 改 进 的马斯京根法 ， 并对具体 的方法给 出详尽 的推导。通过对单一管道和北京百万庄小 区小 巴区域 的雨水 管网进行模拟 ， 应用文献 的资料进行验证分析 ， 可 以看 出计算结果和文献 的计算值及实测值吻合 比较好 ， 表明三种方法均可用 于城 市小 区排水 系统 管网的设计和管理 ， 有实 际的应用价值 。 关键词 ：水力学 ； 城 市排 水系统 ； 动力波法 ； 非线性运动波法 ； 改进 的马斯京根法 ； 牛顿迭代技术 中图分类号 ：T V 1 3 1 4 文献标识码 ：A Co n t r a s t s t u d y o f u n s t a d y flo w ma t h e ma t i c a l mo d e l f o r r a i n p i p e l i n e n e t wo r k s o f u r b a n d r a i n a g e s y s t e m ZHANG Mi n g l i a n g，S HEN Yo n g mi n g，S HEN Da n ( S t a t e K e y L a b o r a t o r y o f C o a s t a l a n d O ffs h o r e E n g i n e e r i n g，D a l i a n U n i v e r s i t y of T e c h n o l o g y ，D a l i a n 1 1 6 0 2 4 ) Ab s t r a c t ： B y c o mb i n i n g t h e h y d r a u l i c s a n d h y d r o l o g y me t h o d， t h r e e ma t h e ma t i c mo d e l s o f t h e d y n a mi c wa v e， t h e n o n l i n e a r k i n e ma t i c wa v e a n d t h e mu hi l i n e a r Mu s k i n g u m me t h o d a re d e v e l o p e d a n d t h e k e y i s s u e s o f t h e s e mo d e l s a r e e x p a t i a t e d p a r t i c u l arl y i n t h i s p a p e r Th e s e mo d e l s a r e a p p l i e d t o s i mu l a t t h e s i n g l e c o n d u i t a n d t h e Xi a o b a are a d r a i n a g e s y s t e m o f B mw a n z h u a n g u p t o w n i n B e i j i n g T h e c a l c u l a t e d r e s u l t s o f w a t e r d e p t h a n d d i s c h arg e a g r e e w i t h t h e d a t a f r o m Ho s s e i n a n d t h e me a s u r e d d a t a Th e s e r e s u l t s s h o w t h a t t h e s e mo d e l s a r e t h e s i mp l e a n d p r a c t i c al t o o l s f o r d e s i g n a n d ma n a g e me n t o f u r b a n d r a i n a g e s y s t e m a n d flo o d p r e v e n t i o n I t h a s t h e a p p l i c a t i o n v alu e Ke y wo r d s ： h y d r a u l i c s ；u r b a n d r a i n a g e s y s t e m；t h e d y n a mi c wa v e；t h e n o n l i n e a r k i n e ma t i c wa v e；t h e Mu s k i n g um me t h o d；t h e Ne wt o n i t e r a t i o n me t h o d O 前言 近年来 ， 随着我国城市数量和规模不断的扩大， 建筑面积的不断增加 ， 从而导致城市不透水面积大幅度增加， 致使相 同条件的降雨 ， 径流系数增大， 使得对城市排水和城市河道行洪构成巨大的压力。为解决这一压力， 现代 化城市利用雨水管网排除降雨径流。为保证我国城市的快速 良性发展 ， 必须采取相应的城市降雨径流理论 和计 算模 型方法 对城 市雨水 管 网进 行有 序 的规划 和管理 。 城市排水系统包括城市地表 、 道路边沟 、 雨水 口、 检查井等其他控制和调节设施。根据水力学特点 ， 它可以分 为两个子系统， 即地表径流系统和管网汇流系统。雨水管 网汇流系统中的管线多为圆形， 也有其它形式的沟渠 、 明渠 等 。由于天 然降 雨都是 有 限的历 时 ， 在 时间上 和空 间上是 变化 的 ， 所 产生 的地表 径 流是 随时间 变化 的 ， 管 网汇 流也是 随时 间变化 的 ， 即是非恒 定 流。 国内外在 城市 水文 理论 和管 网计算 模型方 面 已取 得 了不少 的成果 ， 我 国的一些学者也进行了相关的研究。如岑 国平采用扩散波法和马斯京根法对城市排水系统进行模拟 ， 其 中马斯 京根法中的参数采用固定值 ， 周玉文采用运动波简化方法 ， 这些方法仅仅在一些条件下可用 ， 如运动波法和 马斯京根法用于坡度较大 、 下游回水影响不太严重的雨水管 网中。徐向阳， 刘俊等采用 S WMM模型对北京太平 湖小区排水系统进行了模拟 ， 仇近卫 、 程晓陶对天津市某城区的暴雨沥涝进行了模拟 ， 结果都令人满意。 收稿 日期 ：2 0 0 6 0 9 1 8 基金项 目：国家重点基础研究 发展计划( 9 7 3 计 划) 项 目( 2 0 0 5 C B 7 2 4 2 0 2 ) ， A M D公司大学合作计划资助项 目 作者简介 ：张明亮( 1 9 7 6 一 ) ， 男 ， 博士研 究生 E ma i l ： z h ml i a n g ma i l 1 2 6 c o m 维普资讯 第 5 期 张 明亮等 ： 城市小区雨水管网非恒定数学模型 的对 比研究 81 本文 采用 水力学 和水 文学 相结 合 的途径 ， 建立 了三种雨 水 管 网 汇流 系统 的数学 模 型 ， 动力 波 法 、 非线 性 运 动 波法 、 变参数的马斯京根法 ， 并对具体的方法给出详尽的推导。动力波法采用的是管道节点一管道的类似河网 的三级联解法 ， 非线性运动波法采用的是牛顿迭代技术， 改进的马斯京根法抛弃 了传统的马斯京根 中的参数为一 定值 ， 参数随流量的变化而变化。通过对单一管道和北京百万庄小区小巴区域的雨水排水系统进行模拟 ， 应用文 献 的资料进行验证分析， 可以看出计算结果和文献的计算值及实测值吻合得 比较好 ， 表 明三种方法均可用于 城 市雨水 排水 管 网的设计 和应 用研 究 。应用 三种 方 法模拟 或预 报暴 雨 时各管 道 的水流状 况 ， 如流 量过程 、 水位 过 程 、 最大流速等， 以便对排水系统进行评价 、 管理或改造， 可为城市排水系统的设计研究及暴雨的防汛减灾提供 了 一 个较 为简便 实用 的工 具 。 1 数学模 型 1 1动 力波 法 通常 用圣 维南方 程 ( S a i n t V e n a n t E q u a t i o n ) 描述 一 维管道 流 动 的数 学模 型 ， 可 以写 成如 下形 式 ： 水 流 连 续 方 程 ： + 去 = g ( 1 ) 动 量 方 程 为 ： + ( 筹 ) + ( + ) = 0 ( 2 ) 式 中 ， z为水位 ， Q为 过水 流量 ， B过水 宽度 ， A过水 断 面面积 ， t 为时 间 ， 为距 离 ，K 为流 量模 数 ， g为重 力 加速 度， q 为旁侧人流流量 。利用 P r e i s s m a n n四点加权隐式差分格式 ， 对水流连续方程式( 1 ) 和水流动量方程式( 2 ) 进 行 离散 。对 差分 方程进 行线 性化 处理 后可 得如 下线 性差 分方 程组 ： l j X z j + Ib l j AQ j + l +c l J X z j+d l J A = e 1 ( 3 ) a 2 J A z j + l+b 2 J AQ j + l +c 2 弓 +d 2 J A = e 2 J ( 4 ) 式 中， a l 、 b 1 、 c l 、 d l 、 e l 、 a 2 、 b 2 、 c 2 、 d 2 、 e 2 为 时 间步 长 At 第 断 面 的差 分 方 程 的 系数 ； Az j 、 A z j + 1 分别 为 第 ， +1 断 面在 A t 时 间 内的水位 增量 ； AQ 、 AQ 分别 为第 ， +1 断面在 A t 时 间内 的流量增 量 。 a l j=一 ，b l i=1一 一 卜 4 0 At ( Q 工 。一Q )d S ； A x ( n+ 。 ) d n dl j 一 一 一 筹 = 一 + ) + g ( 。 一 ) + 一 2 A ； d 2 i = O A t 一 - + g c 。 + A + g c 。 一 + 乏 一 鬻 一 一 _ + - 流量 守恒 条 件 ： 进 出某 一雨 水井 点水 量与 该雨 水井 点实 际水 量增 减相 平衡 ， 可用 下式 表示 ： Q ：A 一 Q ： ( 5 ) k = l d u z i k = l A ， 雨 水 井处的 面 积， Q i 连 接i 雨 水井 点n 时刻的 流 量之和 。 能量 守恒 条件 ： 连接 雨水 井点 的各 管段 的水 位增 量与 雨水 井点 的水 位增 量相 同 ， 如 下表 示 ： A z = ( 6 ) 给定 边界 条件 ： 上游 流量 边界 ， 下游 水位 边界 或水 位 流量关 系 。联立 得 到封 闭的各 雨水 井点 水位 为未 知量 的 方程组， 据此可求出各雨水井点的水位 ， 再分别求得各管道的水位和流量。该方法不仅可 以计算树状雨水管 网， 还可 以计算环状的雨水管 网。 1 2非 线 性 运 动 波 法 维普资讯 8 2 水力发电学报 2 0 0 7年 将 方程 ( 1 ) 、 ( 2 ) 简化为 + ， s 。一S ，：0一 ( 7 ) + g ， 0一 将方 程代入 曼 宁公 式得 ： Q ：L n So AR ， 3 + =0 ， ( =丽3 A ， G ( =丽3 Q 采用四点非 中心隐式差分格式离散方程 ， 得到公式( 8 ) ： = ( ： + ： ： ： 一 一 ) ， 3 h= ( ： ： 一 ： ) B ( h )=0 5 ( B ( ) +B ( ： ： ) ) ， G ( h )：0 5 ( G ( ) +G ( ： ： ) ) 1 ( ( ) + ( ) ) ( + 一 一 ) + G ( +G ( ) ) ( 一 ) 】 =0 ( 8 ) 根 据牛顿 迭代逼 近法 ： ，： 一 ， 令 ( ： 。 川 一 凡 = ：凡 ( n + 1 ) “l ：( ： ) 一 ， 为牛顿迭代逼近次数 ， s 。 为坡度 ， A为面积 、 R为水力半径。 已知上游边界条件、 初始边界条件， 采用四点非中心隐式差分格式， 则可根据 h ? 、 、 ? + 。 ， 推求 h a ： ： 。根据 雨水 管 网的特点 ， 一般 已知 上游雨 水井 的入流 量 ， 当管 网 的入 流过 程线 已知后 ， 根 据管 道 的 几何 尺 寸及 入 流流 量 过程线利用牛顿迭代技术求得入流水位过程线 ， 再根据上面介绍的方法求管道末端 的水位过程线 ， 将其转化为流 量过程线和下一管道雨水井的流量叠加后的合成流量作为下一管道的入流过程线， 反复直至管道末端 出口结束。 1 3马斯 京根法 马斯京根法于 1 9 3 8年提出， 是河道流量演算的一种基本方法 ， 基本方程如下 ： S ： K ，+( 1一 ) 0 ，0 n + ： C i n 。 + C ， ， + C 0 ( 9 ) Cl O 5 At XK C2 0 5 At+ XK = 一0 5 t+ ( 1一 ) K 一0 5 At+ ( 1一 ) K 式 中 I 、 Q为管 道入 流和 出流 ， K、 为计 算参 数 ， At为时 f _日 J ， 如 已知上掰人 流过 程 及 始 时 的 卜掰流重 ， 耽 J 步计算出下游流量过程。关于 K， 的参数具体计算如下 ： 一 a Q。= Q = L = = 茜 ， 令 m 3。 Q , 一 aS ， m ： ： c ： ，又 有 ： 筹 m 瓦 义 伺 3Q0 D Ao = 甏= 了2 n 2 4 ( 3 A o + 三P o 3 P o 3 0 譬 一 s i ， ， D O ， 一 2 S o - 一5 + ) 蒹= 2 Q o n A 43 m= ( 5 一 ) 令 = + 1 y o 1 一 ( m - 1 ) 3A。 3L A。 K ：_ Q 0 ( 1 0 ) 一 厶V一 JiI 厶V 维普资讯 第 5期 张明亮等 ： 城市小 区雨水管网非恒定数学模型的对 比研究 8 3 3 D( 2 0一s i n 2 0) 6 S 。 ( 一 ) s in 1 一 5 一 ) 一 2 2 )( 1 1 Q ： s A 尸 = s 譬 ( 2 一 s in ( 2 ) ) 】 5 ( ) ， h = D D c 。 s ( ) ( 1 2 ) 式中， a参数 ， D管道直径 ， ， J 计算管道长度， n糙率 ， 0水深对应的弧度 ， Q 。 参考流量 ， A 。 、 基于参考流量 的断 面面积 和佛 汝德 数 。求 出管道 末端 的流量 过程 线 后 ， 应 用 N e w t o n迭代法 对式 ( 1 2 ) 求解 得到 0 ， 再计 算 出该 断 面的 水深 。 2 计算验证 2 1 单一 管道流 动 为了验证数学模型程序的正确与否 ， 首先采用文献 8 中的单一管道对三种模型进行验证 ， 具体的管道参数 见表 1 ， 管 道长 1 0 0 0 0 m， 管道 直径 l m， 管道糙 率 0 0 1 8 ， 坡 度 0 0 0 5 。上 游 边界 给 定 一个 流 量 过程 ( 见 图 1 ) ， 下 游边 界对 于动 力波法 应用 水位 流量关 系 ， 对 于运动 波 和马斯 京 根法 不 需要 给 定 下游 边界 。图 1为人 流流 量过 程 线 和 各种方 法 ( 动力 波 、 运 动波 、 马斯 京根 法 ) 计 算 的管 道 出 口流量 过程 线 ， 图 2为 三 种方 法 计 算 的管 道 出 口水深 。根 据图 1 、 2可以看出三种方法计算的结果极为接近 ， 表明三种方法均可以用来进行雨水管网的数值计算。 表 1 管道的特性参数 Ta bl e 1 Ch a r a c t e r i s t i c s o f pi p e 二 一 。 g 删 蟪 图 1 三种方法计算的出 口流量对 比图 F i g 1 Co mpa r i s o n o f o u t l e t d i s c h a r g e o f t h r e e me t ho d s 董 篙 图 2三种方法计算的出 口水深对 比图 F i g 2 Co mp a r i s o n o f o u t l e t wa t e r d e p t h o f t h r e e me t h o d s 2 2北京 百万 庄小 区小 巴 区域 百万庄小区为一居民住宅区， 面积为 1 1 6 51 0 4 m 2 。本文取北京百万庄小区的小 巴区域作为研究对象 ， 面积 为 2 7 0 1 0 4 m ， 采用北京市百万庄 1 9 6 5年 8月 2 9日的降雨产流实测资料 ， 取该场降雨资料为原始输入 ， 汇水区 域取小巴区域的子汇水区域进行降雨模拟 ， 具体资料请参看文献 。地表径流的模拟有等流时线法、 瞬时单位线 法、 非线性水库模型方法等， 本文采用非线性水库模 型， 主要控制方程有连续方程和曼宁方程 ， 并对其进行耦合求 解 得 出管 网流量 人流 过程线 。图 3给 出 了百万庄 小 区小 巴 区域 的管 网示意 图 ， 箭 头代 表排水 系统 流动 方 向 ， 模 型 所需的基本资料有降雨 、 地表和管道资料具体详见表 2 。 图 4给 出 了 4 8 #雨水 井三 种不 同的方法 计算 的人 口流量对 比 ， 图 5给出 了 4 9 #雨水 井 三种 不 同 的方法 计算 的入I ： 1 流量对 比， 图 6始出了 5 0 #雨水井三种不同的方法计算 的人 I： 1 流量对 比。由图可 以看出， 三种方法模拟 的结果都很好 ， 可以满足工程应用上的要求 ， 相对动力波法总体上更接近实测值 ， 运动波波法次之， 马斯京根法最 差 。图 7 、 图 8分别 给 出了 4 8 #、 4 9#雨 水井 三 种不 同 的方 法计 算 的 入 I： 1 水 深 对 比。 由对 比图 可 以看 出 ， 各 种方 法符 合 的都很 好 。 表 3为三 种方法 最大 雨洪 流量 的对 比分 析 ， 1 、 2 、 3分别 代 表 动 力波 、 运 动 波 、 马斯 京 根 法 。4 8号雨 水 井最 大 流量 相对 误差 4 2 ， 4 9号雨 水井 最大 流量 相对 误差 0 3 1 ， 5 0号 雨水 井最 大流量 相对 误差 一3 7 6 。表 4为三 种 方法 最 大 雨洪 水 深 的对 比分 析 ， 4 8 号 雨 水 井 最 大 水 深 相对 误 差 4 8 ， 4 9 号 雨水 井 最 大 水 深相 对 误 差6 8 。 维普资讯 8 4 水力发电学报 2 0 0 7 年 可见 最大水 深相 对误 差 在 7 以 内， 最 大 流量 相 对 误 差 在 5 以 内 三种 方法均 可满 足排 水 系统 工程 上 设 计 、 规 划 改造 的需 要 。动 力 波 法采用四点隐式差分格式 ， 运动波法采用牛顿迭代法求解变量 ， 马斯 京根 法抛 弃 了传 统 的定参数 法 ， 采 用 随流量 变化 的变参 数 方法 ， 计 算 的结 果 和动力波 法 ， 非 线性运 动 波法 的结果 接近 。对 于资 料较 少 ， 只 有 降雨历 时 、 降雨 强度 和雨 水管 网的资 料 ， 可 以采 用非线 性 运 动波法 和马 斯京根 法来计 算 ， 对 于资 料 较 为丰 富 ， 下 游 回水 严 重 的情 况 ， 可 采用动力波法 ， 本文的动力波法在求解过程 中采用的是管 网联立的 方法 ， 需要的计算时间要多于其他两种方法 ， 但现今计算机硬件快速 发展 ， 计算速 度依 然很 快 ， 动力 波 法 没有 对 圣 维南 方 程 进 行 简化 ， 总 体精度也略高于另外两种方法。从上述计算可看 出， 本文 的三种模 型可 以应用 到城市 排 水系统 非恒定 流 的研究 与实 际应用 中去 。 3 结语 本 文采 用水力 学 和水 文 学 相结 合 的途 径 ， 建 立 了三 种 排 水 系统 管网 的数 学模 型 ， 动力 波 法 、 非 线 性 运 动 波 法 、 改 进 的 马 斯 京 根 法 。 改进的马斯京根法中的参数是随流量 的变化而变化 ， 更加符合实际 流动情 况 。通过对 一单 一管道 和北 京百 万庄小 区小 巴 区域 的雨 水 管 O4 _ 、0 3 。 o 2 删 增 O l 1 0 0 1 0 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O 时间 mi n 图 4 三种方法计 算的入 口流量对 比图 图 3百万庄小 区小 巴区域管 网示意图 F i g 3 S k e t c h o f p i p e n e two r k s i n Xi a o b a a l-e a o f Ba i wa n z h u a n g u p t o wn 图 5 三种 方法计算 的入 口流 量对 比图 Fi g 4 Co mpa r i s o n o f i n l e t d i s c h a r g e o f t h r e e me t h o d s F i g 5 Co mp a ris o n o f i nle t d i s c h arg e o f t h r e e me t h o d s 网进行模拟， 应用文献的资料进行对比， 可以看出计算结果和文献 的计算值及实测值吻合 比较好 ， 表明三种方法 均 可用 于城市 雨水排 水管 网 的设计 和应 用研究 ， 可 为城市 雨水 管 网的设计 研究 提供 了一 个较 为简便 实用 的工具 。 三种方法 中， 非线性运动波法和马斯京根法需要 的资料比较少 ， 但是模型的简化较多 ， 动力波模 型未对圣维南方 程进行简化， 需要较为详细的资料 ， 但是可 以得到精度较高的解 。 维普资讯 第 5期 张明亮等 ： 城市 小区雨水 管网非恒定数学模型的对 比研究 8 5 。 r 量 删 壤 时间 mi n 图 6三种方 法计 算的入 口流量对 比图 F i g 6 Co mp a ris o n o f i n l e t d i s c h a r g e o f t h r e e me t h o d s 0 6 O 5 O 4 量 嫩0 3 0 2 0 1 O 图 7三种方法计算 的入口水 深对 比图 F i g 7 Co mp a r i s o n o f i n l e t wa t e r d e p t h o f t h r e e me t h o d s 表 3三种方法最大雨洪流量的对 比分析 Ta bl e 3 Co mp ar i s on o f ma x di s c h ar g e o f t